2013年6月28日

Robert Adams 認為可能世界(possible world)是命題的集合,只是這種集合需要符合兩個條件,才算是一個可能世界。第一個條件是最大化:作為可能世界,一個集合要包含所有命題或者它的否定;第二個條件是一致性:整個集合裡的所有命題可以一併為真。

集合 $S$ 是可能世界,當且僅當,
(i). 對於所有命題 $P$ ,要麼 $P$ 是 $S$ 的成員,要麼 $¬P$ 是 $S$ 的成員
(ii). $S$ 裡的所有成員可以一同為真

Adams 對可能世界的定義乍聽之下沒有問題,但最大化條件如果配合幾個集合論公設,其實含有矛盾。

首先,假定 $S$ 是一個可能世界的集合,換言之它滿足了最大化條件,裡面包含了所有命題或該命題的否定,不會有所遺漏。先假定這個最大化的集合裡面總共有 $k$ 個成員,也就是它的基數(cardinality)為 $k$ 。然而,根據冪集公設(Power Set Axiom), $S$ 會有一個冪集 $℘(S)$ ,冪集的成員是 $S$ 所有子集。根據康托定理(Cantor’s Theorem), $℘(S)$ 的基數是 $2^k$ ,即使 $k$ 本身是無窮大,而 $2^k$ 也會比 $k$ 大。此外, $℘(S)$ 每個成員都會有一個相對應的命題,例如它的第一個成員 $e_1$ 對應到命題「 $e_1$ 是 $℘(S)$ 的成員」,第二個成員 $e_2$ 對應到「 $e_2$ 是 $℘(S)$ 的成員」,如此類推。問題是:現在這些命題有多少個?這些命題的數量會和 $℘(S)$ 的基數一樣,有 $2^k$ 這麼多。然而, $2^k$ 比 $k$ 多, $S$ 的成員數目沒有 $2^k$ 這麼多,必定有些命題不在 $S$ 裡,所以 $S$ 一定會漏掉某些命題(或它的否定),不會符合最大化條件,與當初的假定相抵觸。

同樣的推論可以套用在所有最大化的集合裡,這代表,如果相關的集合論公設與定理成立,那就不會有所謂的「最大化」的集合。用最大化集合來定義可能世界,便無可避免會導出矛盾。

這個推論最早在 1985 年由 Selmer Bringsjord 提出,只有一頁長,發表在 Analysis ,篇名是 “Are there set theoretic possible worlds?” 。後來有人挑戰推論裡的康托定理,再後來又有人為 Bringsjord 辯護,論證他的推論可以避用康托定理,依然成立。到 2012 年,仍有人在 Analysis 發表文章,改善 Bringsjord 的推論。

7 comments:

  1. 問一個,那是不是所有以有認為可能世界是最大化的abstract entity的理論都有這個問題(如Plantiga說的state of affairs/Stalnaker說的properties等)?因為按同樣原理,照計可以有同樣問題啊。但討論中除了Adam,又不覺得大家有處理這個問題。是不是因為只有proposition才有這個問題?因為最大化的命題集合,它的冪集也一定比它大,而且可以每個冪集的成員也有對應的命題;而對最大的性質/事態的集合,雖然它的冪集也一定比它大,但它的冪集的成員卻不一定有對應的性質/事態?

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  2. to 鹽:

    這個證明是 Selmer Bringsjord 最早期的版本,必須使用集合論的冪集公設(Power Set Axiom)和康托定理,兩者都是針對集合的描述。即使後來 Patrick Grim 和 Christopher Menzel 的修正避用冪集公設,但依然是針對集合。然而, Alvin Plantinga 把可能世界看成一個事態(state of affair), Robert Stalnaker 把可能世界看成一個性質(property), Plantinga 和 Stalnaker 都沒有將可能世界當成集合,所以不會馬上出現這個問題。

    Kit Fine 修改過 Adams 的定義,以避免 Bringsjord 的攻擊。他在 “Prior on the Construction of Possible Worlds and Instants” 把可能世界定義成一個命題:

    Kit Fine:
    (given p is a proposition) p is a possible world, iff
    (i) p is possible, and
    (ii) for any proposition q, either p entails q or p entails not-q

    目的也是要避免用集合來定義可能世界。

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  3. 那我們要怎麼證明語句邏輯的完備性?

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  4. 頌:

    你是在問我有沒有聽過安麗嗎……?XD
    為甚麼會忽然提到語句邏輯的完備性?

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  5. 證完備性不是也要用到maximal consistent set?

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  6. 頌:

    我看懂了,你問的是個很好的問題。我沒有確切的答案,初步的想法是:如果$k$已經是自然數的基數,那麼命題邏輯裡的wff就不會有$k^2$這麼多;命題邏輯裡的wff最多只有自然數那麼多。然而,以最大化的命題集合來定義可能世界的人,大概不會希望命題的數量會有這個限制吧,因為限制命題的數量同時也是在限制表達力,例如要說「 $e_1$ 是 $℘(S)$ 的成員」、「 $e_2$ 是 $℘(S)$ 的成員」這都不是命題。

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  7. 現在才發現有個很嚴重的 typo...

    更正:「如果 $k$ 是自然數的基數,那麼命題邏輯裡的 wffs 就不會有 $2^k$ 這麼多」

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