2013年6月24日

有幾個連詞(connective)在基礎邏輯課幾乎屬必教之列。雖然這幾個連詞實際上該如何理解,目前尚有深入的爭議,但仍不妨在此簡介今日邏輯課程公認之翻譯方式。惟得注意兩點:一、以下每節標題的中文和英文是否能互相對應,在進階研究中未必有定案;二、以下每節所提的翻譯方式,未必是相關領域所有專家一致認同的看法。

1 僅若/僅當(only if; only when)

「僅若」不是日常詞彚;平常生活大抵沒有人會講「我會出門踢球,僅若別人邀請我」。如果要表達「僅僅在別人邀請我的情況,我才會出門踢球」,慣常的講法應該是「只有當別人邀請我,我才會出門踢球」。換句話講,「X僅若Y」其實是「只有當Y成立,X才會成立」。稍加細想,後者其實可以改寫作「如果-則」句。例如,
只有當別人邀請我,我才會出門踢球(;必須有人邀請,我才會出門踢球)

其實即是

如果我出門踢球,則有別人邀請我

推而廣之,我們可以說以下三句基本上意思一樣

X僅若Y
只有當Y成立,X才會成立
若果X,則Y

譯成邏輯符號,都是

X→Y

2 若且僅若(if and only if; iff)

「若且僅若」比「僅若」更加拗口,同樣不是日常用語。這個連詞在數學和邏輯方面較常見,它的另一個講法是「當且僅當」,兩句都是 “if and only if” (或 “when and only when”)的意思。「若且僅若」可以拆成「若」和「僅若」兩部分。假如我要表達「蝙蝠俠會在壞人作惡時現身,而且,只有在壞人作惡時蝙蝠俠才會現身」,用「若且僅若」來陳構,即是

蝙蝠俠現身,僅若,壞人在作惡

將這兩個部分拆開,其實即是

(蝙蝠俠現身,壞人在作惡)而且(蝙蝠俠現身,僅若壞人在作惡)

稍為排列一下,可以寫成兩個簡潔的「若-則」(「如果-則」)句:

壞人在作惡,則蝙蝠俠現身)而且(蝙蝠俠現身,則壞人在作惡)

所以,我們亦可說,「若且僅若」其實是兩個「若-則」句聯合組成的。

X若且僅若Y
X若Y,而且,X僅若Y
若Y則X,而且,若X則Y

可直接譯成

X↔Y

原本其實沒有必要提「若且僅若」,但實在太多學生混淆了「僅若」和「若且僅若」。譬如,他們會把「陳馬很高興,僅若小虎走了」(A→B)當做「陳馬很高興,若且僅若小虎走了」(A↔B),但這會使得原先的句子多了「若小虎走了,則陳馬很高興」(B→A)的意思,會扭曲原句的意義。

3 除非(unless)

「除非」總算屬於日常慣用語的行列,亦因此,許多邏輯老師都喜歡用它出題目,讓題目看起來比較「自然」。考慮有一位母親說:「除非我兒子做了醫生,否則他會做律師。」此時「除非」依然是一個語句連詞(sentential connective),連接兩個句子──「我兒子做醫生」和「我兒子做律師」。當一個母親這樣說,她其實在宣稱她兒子將來只可能當醫生或律師,沒有第三個可能性。所以,母親的宣稱其實是

我的兒子會做醫生,或者,我的兒子會做律師

這是用「或者」來翻譯「除非」的方法。另一個選擇是把「除非」譯成「如果-則」句。根據母親的話,如果她兒子沒有當醫生,他會做律師嗎?會。母親的意思同時也是:

如果我兒子沒有做醫生,則他會做律師

簡單說,「除非」可以當做「若非」、「若不是」。(某些英英字典甚至會將 “unless” 解釋為 “if not”。)所以,以下幾句大抵同義:

Y除非X
除非X,否則Y
若非X,則Y
若¬X,則Y
X或Y

譯成邏輯符號會是

X∨Y
¬X→Y

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