2013年6月20日

三段論(syllogism)由亞里斯多德(Aristotle)所創,曾一度被認定涵蓋所有論證形式。然而,古希臘到中世紀時期的三段論和當代的三段論相異頗大,早期的三段論只有定言命題(categorical proposition),直至19世紀才加入選言命題(disjunctive proposition)和假言命題(hypothetical proposition)。三段論在邏輯學上地位式微,主因是1879年德國數學家兼哲學家弗列格(Gottlob Frege)提出今日所謂的述詞邏輯系統,弗列格的系統既涵蓋所有三段論能處理的論證形式,又包含了一大堆三段論未能處理的。

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然單就定言三段論(categorical syllogism,即是只包含定言命題的三段論系統)而論,古今的系統也有一相當大差異。最主要的差異在於,傳統系統有全稱到特稱的蘊涵關係,但現代系統把這個拿走。傳統系統能從「所有S都是P」推論「有些S是P」,或從「所有S都不是P」推論「有些S不是P」,在現代系統裡,全稱命題一律推不出特稱命題。

傳統和現代的三段論系統都維持相同的矛盾關係:A型命題與O型命題矛盾,E型命題與I型命題矛盾。四型命題分別是:A型(所有S都是P)、E型(所有S都不是P)、I型(有些S是P)、O型(有些S不是P)。分別相應於右圖的SaP、SeP、SiP和SoP。傳統系統有矛盾關係(contradiction),又有全稱到特稱的蘊涵關係(subaltern),無可避免會繼而有另外兩個關係:正對立(contrary)和次對立(subcontrary)。兩個命題正對立即是不能同真;兩個命題次對立即是不能同假。基於傳統系統的矛盾和蘊涵關係,可以推導出A型命題與E型命題正對立、I型與O型次對立。
  1. A與E正對立:(一)設某一A型命題真,根據矛盾關係,相應的O型命題假,根據蘊涵關係,相應的E型命題亦假。(二)設某一E型命題真,根據矛盾關係,相應的I型命題假,根據蘊涵關係,相應的A型命題亦假。一真必有另一假,故不能同真。
  2. I與O次對立:(一)設某一I型命題假,根據矛盾關係,相應的E型命題真,根據蘊涵關係,相應的O型命題亦真。(二)設某一O型命題假,根據矛盾關係,相應的A型命題真,根據蘊涵關係,相應的I型命題亦真。一假必有另一真,故不能同假。
到了現代,有不少學者──如George Boole──抗議三段論裡全稱蘊涵特稱的設定。這個爭論與「the Problem of Existential Import」關係密切。他們認為,有些全稱命題很顯然沒有蘊涵相應的特稱命題,例如「所有獨角獸都有角」就沒有蘊涵「有些獨角獸有角」,前者真而後者假(因為前者是據定義得來,而後者斷言有獨角獸存在,違反事實)。現代三段論系統採取Boole的提議,放棄了全稱到特稱的蘊涵關係,正對立和次對立因而失去保障。非但如此,在現代系統裡,沒有東西是S時(即S是空集合),「所有S都是P」和「所有S都不是P」會同真。如果A型和E型同真,根據矛盾關係,I型和O型便會同假,所以正對立和次對立會一併失效。換言之,現代系統只保留傳統系統的矛盾關係,放棄了蘊涵、正對立和次對立關係。右圖的四角關係對當圖(the Square of Opposition)同時包含了古今三段論的四大關係,亦清楚地展示了這個差異。

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