Benacerraf’s Dilemma

Stewart Shapiro在Thinking About Mathematics: The Philosophy of Mathematics (2000, pp. 31-32)提到Paul Benacerraf的兩難。這個兩難最早發表在他1973年的“Mathematical Truth”,是數學哲學裡一篇極著名的文章。

根據Shapiro的介紹,這個兩難背後的想法相當容易理解。一方面,數學陳述和科學陳述(及日常的陳述)在本質上應該沒有差異。有兩個理由讓我們接受這點。第一、我們應該優先尋求一套能統一數學和科學語言(及日常語言)的語意理論,而不是讓數學和科學分享兩套不同的語意(semantics)。例如,如果數學陳述的真假是客觀、獨立於心靈,科學陳述(及日常使用的陳述)也該一樣,反之亦然。第二、科學和數學可謂密不可分,科學理論幾乎都摻雜了數學語言。除此之外,一般認為科學陳述是客觀的,所以數學陳述也是客觀的。這使得我們傾向接受數學方面的兩套實在論:真假值實在論(truth-value realism)──認為數學陳述有獨立的真假值──和存有上的實在論(ontological realism)──認為有獨立存在的數(或數學物件)。另一方面,如果數真的獨立存在,它理應是抽象物件(abstract object),獨立於時空。但既然獨立於時空,也就代表不會和我們有任何因果互動,如此一來我們又怎麼能獲取數學知識?

Benacerraf的兩難指出,在形上學方面接受數學的實在論,會導致知識論方面的困難,即是要解釋我們如何能不透過因果互動獲取數學知識;但若果不接受數學方面的實在論,回過頭來,又得解釋為何數學陳述會有別於科學、日常的陳述,沒有獨立的真假,或者解釋為何連科學、日常陳述都沒有獨立真假。

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