兩個版本的羅素悖論

Stewart Shapiro 的 Thinking about Mathematics 寫了一種羅素悖論(Russell’s Paradox)的陳構方法,那種方式比較適合書中的脈絡,脫離脈絡卻較難懂。羅素悖論有其他陳構方式,一種用自然語言解釋,較易明白,也是較為通俗的版本;另一種用集合論符號寫,較為嚴謹。

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有些集合不包含自己,例如「由所有大話精組成的集合」。這個集合大概是這樣:

由所有大話精組成的集合 = {大話精甲, 大話精乙, 大話精丙, 梁振英, ……}

因為集合本身不會撒謊,因而不會是大話精,所以「由所有大話精組成的集合」沒有包含自己。同樣地,有其他集合亦沒有包含自己,例如「由所有畜牲組成的集合」、「由所有紅內褲組成的集合」、「由所有香港特首組成的組合」。(簡稱「大話精集合」、「畜牲集合」、「紅內褲集合」、「香港特首集合」。)

集合可以包含集合。例如, {1,2} 和 {a,b} 是集合,而 {{1,2},{a,b}} 則是將兩者收集起來的集合。進一步,可以有集合將那群不包含自己的集合都收集起來,即是「由所有不包含自己的集合組成的集合」(簡稱「羅素集」)。這個集合大概是這樣:

羅素集 = {大話精集合, 畜牲集合, 紅內褲集合, 香港特首集合, ……}

問題是,羅素集有沒有包含自己?假如羅素集包含自己,由於它只由不包含自己的集合組成,所以它和其他成員一樣,不包含自己,但這樣的話它會同時包含自己又不包含自己,會有矛盾。假如羅素集不包含自己,代表它是不包含自己的集合,但羅素集包含了所有這類集合,因此它又會包含自己,又再產生矛盾。悖論產生了:羅素集包含自己會有矛盾,不包含自己也會有矛盾。

2

令 A 為羅素集,即是,它包含了所有不包含自己的集合。寫成集合論符號是:

A = {x:x∉x}

對於任何東西 x , x∈A 代表它要符合 x∉x 。也就是說,無論 x 是甚麼,

x∈A ⇔ x∉x

問題是,當「x」替換成「A」,會得到矛盾

A∈A ⇔ A∉A

因為這句話說,如果 A∈A 則 A∉A ,並且如果 A∉A 則 A∈A。

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