質料條件句的悖論

質料條件句(material conditional)是古典邏輯(classical logic)系統底下其中一種複合句,這類句子的真值條件完全由組成它的句子決定。


上圖的真值表,最中間的欄(橙色)表示質料條件句「p⊃q」的真值條件:只有在「p」真而「q」假時,「p⊃q」才為假;其他情況一律為真。質料條件句可以透過「∼p∨q」或「∼(p∧∼q)」定義,三者真值條件一樣,即彼此等價。雖然不少人會用質料條件句來翻譯日常生活用的「如果…則…」句子,但兩者的語意是否等同,其實存在許多爭論。反對用質料條件句來理解日常「如果…則…」句子的人,經常會提兩個關於質料條件句的悖論。

第一、∼p蘊涵p⊃q;必然地,如果「∼p」為真,則「p⊃q」也會為真。把實質條件句當成日常條件句,會有不少荒謬的例子。

「帝國大廈被撞毀」蘊涵「如果帝國大廈沒有被撞毀,美國人會將它擴建到一千層」
「帝國大廈被撞毀」蘊涵「如果帝國大廈沒有被撞毀,美國人不會將它擴建到一千層」
「2012年沒有磒石撞地球」蘊涵「如果2012年有磒石撞地球,則2012年沒有磒石撞地球」

第二、q蘊涵p⊃q;必然地,如果「q」為真,則「p⊃q」也會為真。同樣地,將之理解成日常條件句,會產生一堆荒謬的後果。

「小明一生做盡好事」蘊涵「如果有惡魔控制小明,則小明一生做盡好事」
「那眼鏡盒裡放了一副眼鏡」蘊涵「如果有人把那眼鏡盒裡的東西都拿出來,則那個眼鏡合裡放了一副眼鏡」
「羅素在1970年逝世」蘊涵「如果羅素在1971年才死亡,則羅素在1970年逝世」

這兩個悖論都是基於質料條件句的兩個特徵。第一個是基於,質料條件句一旦前項為假,無論後項是甚麼,整句都會為真(注意真值表紅字下的兩行);第二個基於,質料條件句若果後項為真,無論前項是甚麼,整句都會為真(注意真值表紅字上下一行)。

除了這兩個較有名的悖論,質料條件句還有其他違反直覺的後果。以下是幾個改自Graham Priest (2008, An Introduction to Non-classical Logic (2nd ed.), pp. 14-15)的反例。

1. (p∧q)⊃r 蘊涵 (p⊃r)∨(q⊃r)

假設有一個救濟金只有年滿七十的笨蛋才有資格申領。「如果你滿七十歲而且是笨蛋,你就有資格申領救濟金」蘊涵「你滿七十歲就有資格申領救濟金,或者,你是笨蛋就有資格申領救濟金」。

2. (p ⊃ q)∧(r⊃s) 蘊涵 (p⊃s)∨(r⊃q)

「如果世飛是父親,則是世飛是男人;並且,如果世飛是母親,則世飛是女人」蘊涵「如果世飛是父親,則世飛是女人;或者,如果世飛是母親,則世飛是男人」。

3. ¬(p⊃q) 蘊涵 p

「並非:如果撒旦存在,則它只會做善事」蘊涵「撒旦存在」。

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