2013年7月13日

Stewart Shapiro的Thinking about Mathematics: the Philosophy of Mathematics讀到第五章,介紹Gottlob Frege的邏輯主義(pp. 108-115)。內容與之前讀過的幾本數哲入門書大致一樣,不過寫得更簡潔,我十分喜歡,順便整理成這份筆記。

在數學哲學方面,Frege是一位邏輯主義者(logicist),認為數學可以全盤由邏輯演繹得來;或者用術語說,數學可以化約成邏輯。他在早期企圖發展一套能涵蓋算術的系統,這套系統現在一般稱為「Frege的概念理論」(Theory of Concept)。但由於系統當中的第五公設(Basic Law V)導致後來著名的羅素悖論(Russell’s Paradox),使得Frege被逼放棄整個邏輯主義計畫。Shapiro在註腳(pp.114, n4)提到,其實數學家Ernst Zermelo比羅素早一年發現這個悖論。

Frege所講的「概念」(concept)是一個術語,不是日常使用的意思。對他而言,「張三是男性」即是張三屬於男性的概念,或者男性的概念適用於張三。Frege的「概念」獨立於心靈存在,近似現今的「性質」(property)。用現今的講法,「張三是男性」表達了,張三擁有男性這個性質。此外,一個概念的外延(extension),即是所有該概念適用的東西的集合。譬如,男性這個概念的外延就等於所有男性的集合。

第五公設
對於任何概念 F,G , F 的外延與 G 的外延等同,若且僅若,對於所有物件 x , Fx 若且唯若 Gx

第五公設的要旨是:兩個概念有一樣的外延,若且僅若,兩個概念適用於一樣的東西。由於「有肝臟的脊椎動物」和「有腎臟的脊椎動物」這兩個概念適用於同一堆物件,根據第五公設,它們的外延也一樣。在Frege出版第一卷《Grundgesetze der Arithmetik》(英文名稱《Basic Laws of Arithmetic》)後,並在第二卷出版前一年,也就是1902年,羅素(Bertrand Russell)寄了一封信給他,證明第五公設會蘊涵矛盾,這個證明也就是後來所謂的羅素悖論。

首先,設 R 是一個概念,它的定義是: x 是 R (即 Rx ),若且僅若,有一個概念 F , x 是 F 的外延,並且 Fx 為假(即 ∼Fx )。令 a 是 R 的外延。我們接著可以證明,無論 a 是不是 R ,都會有矛盾。

1. Ra (假設)
2. 有一個概念 F , a 是 F 的外延,並且 ∼Fa (根據 R 的定義)
3. F=R (第五公設,F,R外延同為a)
4. 有一個概念 R , a 是 R 的外延,並且 ∼Ra (根據2, 3)
5. ∼Ra (根據4)

6. ∼Ra (假設)
7. a 是 R 的外延(最初的假定)
8. 有一個概念 R , a 是 R 的外延,並且 ∼Ra (根據6, 7)
9. Ra (根據 R 的定義)

Frege在當時很快就回信給羅素,內容相當得體,不卑不亢。
Your discovery of the contradiction caused me the greatest surprise and, I would almost say, consternation, since it has shaken the basis on which I intended to build arithmetic… [The matter is] all the more serious since, with the loss of my Rule V, not only the foundations of my arithmetic, but also the sole possible foundations of arithmetic, seem to vanish… In any case your discovery is very remarkable and will perhaps result in a great advance in logic, unwelcome as it may seem at first glance. (van Heijenoort, 1967, From Frege to Gödel, pp. 127-8)
在信裡,Frege清楚表明,羅素的發現對他的系統有鉅大影響。羅素指出第五公設內部不一致,但若果失去第五公設,Frege的算術系統便會喪失基礎。面對這位間接摧毀自己經營多年哲學計畫的人,Frege不但稱讚對方的發現十分卓越,更將自己的關注放在邏輯學整體的發展。

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