(∀x)(Px→Qx)

7/29/2013 12:00:00 上午
前幾天有人問我邏輯,內容又是與條件句有關。大意是,為甚麼在沒有東西符合 Px 的情況, (∀x)(Px→Qx) 會為真?
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以「所有袋狼都有斑紋」為例,他的問題等於在問,為甚麼沒有袋狼,「所有袋狼都有斑紋」便會自動為真?首先,這句的符號表達是

(1). 所有袋狼都有斑紋
(1). 對於任何 x ,如果 x 是袋狼,則 x 有斑紋
(1). (∀x)(Px→Qx)

與 (1) 相矛盾的是「有些袋狼沒有斑紋」。換句話說,「所有袋狼都有斑紋」和「有些袋狼沒有斑紋」不可能同真,也不可能同假;兩者必定一真一假。所以,只要證明「有些袋狼沒有斑紋」為假,就會證明 (1) 是真的。將前者寫成符號會變成

(2). 有些袋狼沒有斑紋
(2). 存在著一些 x , x 是袋狼而且 x 沒有斑紋
(2). (∃x)(Px∧∼Qx)

只要 (2) 為假,由於 (2) 和 (1) 相矛盾, (1) 便會為真。問題是,接下來的句子如果是真的,那麼 (2) 是真還是假?

(3). 沒有東西是袋狼
(3). 不存在 x , x 是袋狼
(3). ∼(∃x)(Px)

相當明顯:如果沒有東西是袋狼,自然也不會有東西既是袋狼沒有斑紋──即,不會存在同時是袋狼而且又沒有斑紋的 x 。所以,如果 (3) 是真的,理所當然 (2) 會是假的。然而,正如之前所講, (2) 假代表 (1) 真,所以 (3) 真邏輯上會導致 (1) 真。

回到原初的問題:為甚麼沒有東西符合 Px 的情況裡, (∀x)(Px→Qx) 會是真的?答:因為沒有東西符合 Px 的情況即是 (3) 為真, (3) 真代表 (2) 假,而 (2) 假又代表 (1) 真。

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同樣道理,如果沒有東西符合 Px ,以下這一句也會自動為真。

(4). (∀x)(Px→∼Qx)

在古典邏輯裡,如果沒有東西是袋狼,「所有袋狼都有斑紋」和「所有袋狼都沒有斑紋」皆會自動為真。傳統三段論維持正對立關係,堅持「所有 S 是 P 」和「所有 S 都不是 P 」不能同真,所以古典邏輯等同放棄傳統三段論的正對立。
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