2013年8月12日

空集合是所有集合的子集(subset),由於空集合本身也是個集合,因此空集合是空集合的子集。結論聽起來十分奇怪,令人不禁想反對第一個前提,但前提和結論其實都是可以證明的,而且整個證明與之前證「如果沒有東西是 $Px$ , $(∀x)(Px→Qx)$ 便會自動為真」有異曲同工之妙。

首先,空集合的定義十分簡單:空集合即是沒有任何成員的集合。空集合本身是一個集合、一個東西,但空集合裡面就沒有任何東西、沒有任何成員,常見的寫法有兩種── $\{\}$ 和 $\varnothing$ 。

再來是子集的定義:「$A$ 是 $B$ 的子集」即是「$A$ 的所有成員都是 $B$ 的成員」。現時用來表示子集的符號是「$⊆$」,所以「$A$ 是 $B$ 的子集」又可寫成「$A⊆B$」。(較舊書籍會用「$⊂$」代表子集,但這個符號現今一般有另一解釋。)用於表示「成員關係」的符號則是「$∈$」,所以「$x$ 是 $A$ 的成員」會寫成「$x∈A$」。子集關係其實是個條件句,而且是個由全稱量化詞拘束變元的條件句:

(1). $A⊆B$
(1). $A$ 是 $B$ 的子集
(1). $A$ 的所有成員都是 $B$ 的成員
(1). 對於所有 $x$ ,如果 $x$ 是 $A$ 的成員,則 $x$ 是 $B$ 的成員
(1). $(∀x)(x∈A\ →\ x∈B)$

先處理一個簡單的問題:空集合是不是空集合的子集?只要以下這句是真的,便代表空集合是自己的子集:

(2). $\varnothing⊆\varnothing$
(2). $\varnothing$ 是 $\varnothing$ 的子集
(2). $\varnothing$ 的所有成員都是 $\varnothing$ 的成員
(2). 對於所有 $x$ ,如果 $x$ 是 $\varnothing$ 的成員,則 $x$ 是 $\varnothing$ 的成員
(2). $(∀x)(x∈\varnothing\ →\ x∈\varnothing)$

舊技倆, (2) 與 (3) 互相矛盾:

(3). $\varnothing⊈\varnothing$
(3). $\varnothing$ 不是 $\varnothing$ 的子集
(3). 有些 $\varnothing$ 的成員不是 $\varnothing$ 的成員
(3). 有些 $x$ , $x$ 是 $\varnothing$ 的成員,但 $x$ 不是 $\varnothing$ 的成員
(3). $(∃x)(x∈\varnothing\ ∧\ x∉\varnothing)$

(3) 明顯是假的,因此 (2) 是真的──空集合是空集合的子集。有兩個方法看出 (3) 為假。第一, (3) 本身是矛盾句,因為它斷言有東西既在空集合裡,而且又不在空集合裡(留意第三行)。第二,根據空集合的定義,沒有東西會是它的成員,故不會有 $x$ 是 $\varnothing$ 的成員,進而,不會有 $x$ 既是 $\varnothing$ 的成員又不是 $\varnothing$ 的成員(留意第四行)。

從第二個方法可進一步看出「空集合是所有集合的子集」。假設 $\mathcal{K}$ 是任意一個集合,

(4). $\varnothing⊈\mathcal{K}$
(4). $\varnothing$ 不是 $\mathcal{K}$ 的子集
(4). 有些 $\varnothing$ 的成員不是 $\mathcal{K}$ 的成員
(4). 有些 $x$ , $x$ 是 $\varnothing$ 的成員,但 $x$ 不是 $\mathcal{K}$ 的成員
(4). $(∃x)(x∈\varnothing\ ∧\ x∉\mathcal{K})$

透過第二個方法可以清楚看出 (4) 為假:不會有 $x$ 是 $\varnothing$ 的成員,故不會有 $x$ 既是 $\varnothing$ 的成員又不是 $\mathcal{K}$ 的成員(同樣留意第四行)。由於 (4) 與 (5) 相矛盾,所以 (5) 為真。

(5). $\varnothing⊆\mathcal{K}$
(5). $\varnothing$ 是 $\mathcal{K}$ 的子集
(5). $\varnothing$ 的所有成員都是 $\mathcal{K}$ 的成員
(5). 對於所有 $x$ ,如果 $x$ 是 $\varnothing$ 的成員,則 $x$ 是 $\mathcal{K}$ 的成員
(5). $(∀x)(x∈\varnothing\ →\ x∈\mathcal{K})$

(5) 若為真,代表 $\varnothing$ 是 $\mathcal{K}$ 的子集。已假定 $\mathcal{K}$ 是任意一個集合,而整個證明亦不需要假定 $\mathcal{K}$ 是個怎樣的集合,由此可知,無論 $\mathcal{K}$ 是甚麼集合,空集合都是它的子集。換句話說,空集合是所有集合的子集。

2 comments:

  1. 不好意思請問一下
    這篇文章的資料來源是?

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  2. 基礎集合論的書應該都有。可以參考以下這兩本

    Causey, Robert (2006). Logic, Sets, and Recursion (2ed), p. 130
    Enderton, Herbert (1977). Elements of set theory, p.4 (不過這裡證明的是∅⊆∅)

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