《Logic, Sets and Recursion》及其他

想起大學時的邏輯入門書 Logic, Sets and Recursion ,先是感到慶幸,繼而想起這本書尚有一個特立獨行的設計,為它「招徠」不少抱怨。

Robert Causey 此書的證明系統的寫法不但罕見,就連他採用的推論規則也相當特別。一般來說,語句邏輯的證明系統會有十八條規則,他做了一點修改,多了幾條其他邏輯書未必看到的規則,同時也少了幾條常見的規則。這方面的差異尚好,因為大多邏輯教科書的語句邏輯規則都會有些差異,只要最主要的十來條規則大抵一樣便夠用。

然而, Causey 的述詞邏輯系統沒有通稱「存在例化」的 Existential Instantiation (EI)。據此規則,假如證明中有某行是 ∃xFx ,只要符合某些條件,便可在之後某一行寫上 Fa 。更簡略地說,即是可由「有東西是 F」推論「a是F」。在 Causey 一書,取而代之的規則是 Existential Antedecent (EA)。 舉個例子,假如證明中有某行是 Fa→φ ,只要符合某些條件,便可在之後某一行寫上 ∃xFx→φ 。講白一點,這其實是對條件句的前項(例子裡的 Fa)做「存在推廣」(Existential Generalization, EG)。

EA 相較於 EI 有某些優點,但也有兩個不便之處。第一個是書寫較麻煩:用 EI 寫的證明改成用 EA 寫,一般都要多寫兩行以上。第二個與系統的設定無關,純粹是現成的教學習慣:港台兩地的學校教邏輯一般都會用有 EI 的系統。

我遇過很多想考轉學考的同學,拿著別校的邏輯考古題跟我抱怨:「幹! EI 喜沙小!為甚麼規則表沒有 EA ?」規則表當然沒有 EA ,因為 Causey 的 Logic, Sets and Recursion 在港台都是非常冷門的教科書, EA 幾乎只有他在用。據我所知,台灣最通用的邏輯系統是林正弘教授和彭孟堯教授的中文邏輯書,以及 Alan Hausman 、 Howard Kahane 與 Tidman, Paul 合著的 Logic and Philosophy A Modern Introduction 的多本中譯本,這幾本都是採用有 EI 的系統(前兩本我手上沒有書,不太確定,最後一本肯定有 EI )。

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