2013年9月15日

在網上看到人問,有沒有「直覺一點」的方法說明語句邏輯的移出律(Law of Exportation):

$$((A∧B)→C)⇔(A→(B→C))$$
有網友友善地提供一個說明
把男生當A,女生當B,C是愛情。若(「男生」和「女生」在一起)則會有「愛情」;這話等同於,當你是一個男生時,則你知道你的人生必然這樣發展:只要有個女生出現的話,愛情也就出現了。
我對原本的問題興趣不大,令我感興趣的倒是網友的說明。那個說明有一點瑕疵,而且是邏輯初學者常見的通病,值得談談。(我無意針對幫忙說明的網友,倒是十分欣賞他的熱心和解釋,若果當事人覺得受到冒犯,我可把例子換走。)

那個說明的瑕疵是:「$A$」、「$B$」和「$C$」都不是語句(sentence,或命題)。在網友的說明裡,「$A$」、「$B$」和「$C$」各代表一個類別(class)──男生、女生、愛情。移出律是語句邏輯的規則,這條規則涉及兩個語句邏輯的複合語句,「$((A∧B)→C)$」和「$(A→(B→C))$」。嚴格來說,移出律並不是關於兩語句的規則,而是關於兩語句的規則,所以更嚴格的陳構應該用希臘字母: $((φ∧ψ)→χ)⇔(φ→(ψ→χ))$ 。由於小階希臘字母是語句符號的變元,連詞兩側同樣只能放語句,所以對本文想表達的要旨沒有影響。若翻查邏輯教科書,可輕易查到「$A$」、「$B$」、「$C$」等符號,在語句邏輯裡都是代表語句,而不是類別,因此,用它們代表男生、女生等類別,已違反語句邏輯的語法。此外,「$∧$」和「$→$」是語句連詞(sentential connective),又叫做真值函元(truth functor),如此稱呼的原因,正是由於它們必須作用在有真假值的語句上,因此「小明是男生而且小花是女生」才可譯成「$A∧B$」。假如「$A$」代表男生,「$B$」代表女生,「$A$」和「$B$」本身就無真假可言,而「$A∧B$」亦會是無意義的符號。依照那個設定,「$(A∧B)→C$」的嚴格讀法會是「如果男生和女生,則愛情」,無法讀出「若(『男生』和『女生』在一起)則會有『愛情』」的意思。

這個錯誤在上述的脈絡只是小瑕疵,稱不上有害;網友的原意十分清楚,可用更嚴謹的方式表達。不過,搞錯符號在人工語言所代表的意思,有時會成為討論毒藥。我曾經見識過,有個大學部的學生在上課時聽到教授某句話,馬上舉手反對,誓要指出教授的不對。那教授說:「語句邏輯無法將『所有人都會死,蘇格拉底是人,因此蘇格拉底會死』翻譯成有效論證(valid argument)」。那個學生一臉不屑,不待教授解釋,就滿懷自信,徑自走到白板前,企圖用語句邏輯的符號將之寫成有效論證。然後,他寫了一堆不屬於語句邏輯的符號──甚至不屬於任何邏輯的符號──當著全班的面,一個人在那邊擾攘了許久……。那位教授脾氣好,每次都等他寫完,才輕輕地吐出一個問題:「這裡的『$xH→$』在語句邏輯裡是甚麼意思?」


0 comments:

張貼留言

 
Toggle Footer