Inclusive-or, Exclusive-or, Unless

我之前整理了三個常見的基礎邏輯翻譯,這篇是算是延伸,進一步介紹 “or” 的兩個意義,以及連帶對 “unless” 的影響。由於 “or” 和 “unless” 的意思與中文的「或者」和「除非」大致一樣,我會交錯使用中英文。

考慮第一個例子。颱風天兔明日襲港,你和一群朋友在酒吧喝得興起,正考慮玩通宵,但你擔心天兔會敗於李氏力場之下,明早可能還是要上班。旁邊的朋友看出你的顧慮,拍了拍你肩膀,肯定明天有假放,說:

(O1). 明天暴雨警號會延續到下午,或者水浸會令交通癱瘓

令 A 為「明天暴雨警號會延續到下午」, B 為「明天水浸會令交通癱瘓」,這句的主要連詞是「或者」,所以是句選言 (disjunction) 。接著,針對明天的氣候,考慮幾下四種情況:

(1). 暴雨警號在下午前就取消,而且沒有出現令交通癱瘓的水浸
(2). 暴雨警號在下午前取消,不過水浸真的令交通癱瘓
(3). 暴雨警號確實延續到下午,但是沒有出現令交通癱瘓的水浸
(4). 暴雨警號確實延續到下午,而且還出現令交通癱瘓的水浸

很明顯,在第一種情況,你朋友說的話成了假話。在第二和第三種情況,你朋友所說的是真話。在第四種情況呢?你朋友仍是說了真話。第四個情況是 A 和 B 都為真的情況,由於這意義底下的選言句為真包含 A 和 B 俱真的情況,所以這種選言叫做 inclusive disjunction ,而裡面的「或者」就叫做 “inclusive-or” 。

考慮第二個例子。你是一個探員,與李組長合夥查一宗兇殺案,死者被發現陳屍家裡,兇手只有一人,你四處探查,仍對兇手當初如何入屋茫無頭緒,不禁向李組長請教。李組長眉頭一皺,望了望案發現場,說:

(O2). 兇手從窗戶爬入,或者撬門闖入

令 C 為「兇手從窗戶爬入」, D 為「兇手撬門闖入」,這句也是選言。同樣考慮四種情況:

(1). 兇手不是從窗戶爬入,也不是撬門入屋
(2). 兇手沒有從窗戶爬入,不過確是撬門入屋
(3). 兇手由窗口爬入,不是撬門入屋的
(4). 兇手當初是撬門入屋,而且是從窗戶爬入 (???)

前三種情況和第一個例子雷同:在第一種情況 (O2) 為假,在第二和第三種情況 (O2) 為真。可是,李組長的話有包含第四種情況嗎?李組長的話無此意味,因此,他的話要為真,得排除 C 和 D 俱真的情況。這種選言句又叫做 exclusive disjunction ,裡面的「或者」稱為 “exclusive-or” 。這種意思的 “or” 並不罕見。談起在國外讀書的友人,你說「他正在外國讀大學或者碩士」,便不包括他同時讀大學和碩士的情況;母親對孩子說「你可以買超人迪加或者哥斯拉」,如果孩子兩個都買,擺明是把 exclusive-or 扭曲成 inclusive-or 。

基礎邏輯裡的「或者」,符號是 ∨ ,是 inclusive-or 的意思。邏輯書作者通常會聲明,另有一種意思的「或者」,不包含組成述句俱真的情況,有時用另一符號 表達。上述兩個例子,寫成邏輯符號應該是 A∨B 和 CD 。此外, exclusive-or 可以用 inclusive-or 配合 “and” 和 “not” 定義,最流行的定義方法是:

 pq ⇔ (p∨q)∧∼(p∧q)

最後是英文的 “unless” 。 “Unless” 語意上可以轉換成 “or” ,「除非 p ,(否則) q」可轉換成「p 或者 q」。W. V. O. Quine 在 Elementary Logic (1998) 說 “unless” 承繼了 “or” 的歧義,換言之, “unless” 有一個意思包含 p 和 q 俱真,有一個則不包含。 “Unless you have a photographic memory, repetition is vital” 該是前者,而 “He will be a doctor, unless he fails the test” 則屬後者。

5 則留言:

  1. 不好意思請問一下,我不是很懂最後一段關於unless的說明....unless (除非、若非、若不是)(依照你那篇「[基礎邏輯手冊] Only if, iff, unless」裡的解釋,也還有依照英文字典定義的,"except on the condition that : under any other circumstance than",看起來unless的意思還是比較限定於exclusive-or?

    就語意來看的話,“Unless you have a photographic memory, repetition is vital”這句話讀起來好像也還是不包含 p 和 q 俱真的情況?

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  2. 試看看以下幾句, 會不會覺得它們包含 p 和 q 俱真的情況:

    1.除非你把卡式錄音帶回轉, 否則不會聽到任何東西.
    (假設你在測試錄音帶有沒有錄到東西, 按了播放才發現它已經在最底, 要回轉到前面才能播)

    2.You will fail unless you work hard.
    (假設這件事非常困難, 不努力肯定失敗, 但努力也未必成功)

    3. 距離考試只有六小時. 除非你現在開始讀書, 否則你一定不及格。

    4. 除非你面試時沒有講髒話, 否則你一定沒有複試的機會.

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  3. 感謝說明,我好像有比較懂一點了。那這個情況是不是可以理解為,有些情況下「除非 p 否則 q 」包含講話者的主觀假設,而如果跳脫出這樣的主觀想法,就還是會有包含 p 和 q 俱真的情況,所以考慮到這種可能性的話,unless也能夠是inclusive-or?

    (不確定我這樣理解對不對.....)

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  4. 「有沒有包含主觀假設」、「是否跳脫主觀假設」我有點保留。不過,重要的是我跟你都同意 “unless” 確實可以有 “inclusive-or” 的意思。

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