套套邏輯與邏輯真理

「套套邏輯」(tautology)是形式邏輯的概念,有不少人喜歡把它掛嘴邊,卻不知道它侷限甚大,適用範圍遠不如形式邏輯裡的「邏輯真理」(logical truth)。就以最多人熟悉的古典邏輯為例,以下幾個句子,學過古典邏輯,看你分不分得出哪些是套套邏輯,哪些是邏輯真理:
  1. 藝術家都有怪僻
  2. 所有藝術家都要麼有怪僻,要麼很固執
  3. 要麼所有藝術家都有怪僻,要麼有些藝術家沒有怪僻
  4. 所有藝術家都要麼有怪僻,要麼沒有怪僻
在講答案之前,先複習一下形式邏輯,將上述四句翻譯成語句邏輯,再另外翻譯成述詞邏輯。

譯成語句邏輯,那四句分別會是:
  1. P
  2. Q
  3. P∨∼P
  4. R
譯成述詞邏輯,則會是:
  1. ∀x(Ax→Wx)
  2. ∀x(Ax→(Wx∨Sx))
  3. ∀x(Ax→Wx)∨∃x(Ax∧∼Wx) (此句與 ∀x(Ax→Wx)∨∼∀x(Ax→Wx) 等值)
  4. ∀x(Ax→(Wx∨∼Wx))
答案是:那四句之中,只有 3 是套套邏輯,而 3 和 4 都是邏輯真理。

「套套邏輯」其實是指,一旦寫成語句邏輯就必定會為真的語句。那四句寫成語句邏輯後,就只有 3 必定是真的,因此只有 3 是套套邏輯。相較之下,「邏輯真理」的範圍可就闊得多,寫成述詞邏輯後必定為真的,一律都是邏輯真理。 3 和 4 譯成述詞邏輯,兩者都必定是真的,因此兩者皆為邏輯真理。

在語句邏輯必定為真的語句,改寫成述詞邏輯也必定為真,因此套套邏輯都是邏輯真理。反之則不然: 4 證明邏輯真理未必都是套套邏輯。


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我不想把解釋寫太長,如果你已學過基礎邏輯仍看不懂,可能是由於你沒有搞清楚這幾個基本概念:
  1. 不要看到「要麼…要麼…」都一律翻譯成「…∨…」。語句邏輯的「∨」兩側都必須是完整語句, 2 和 4 不是這種情況。譬如, 2 的「要麼」是連結「怪僻」和「固執」,這兩個都不是完整語句
  2. 2 和 4 其實已是單位最小的完整語句,無法再分拆成更細的語句,因此它們都是簡單述句。
  3. 簡單述句在語句邏輯都一定有真有假,不可能是套套邏輯,因此 1, 2 和 4 都不可能是套套邏輯。(簡單一句 “War is war” 在語句邏輯也只是簡單述句,因此不是套套邏輯。)
  4. 「所有藝術家都有怪僻」和「有些藝術家沒有怪僻」互相矛盾,因此在語句邏輯要寫成 P∨∼P 。
  5. 「所有藝術家都有怪僻」和「有些藝術家沒有怪僻」在述詞邏輯可寫成 ∀x(Ax→Wx)∨∼∀x(Ax→Wx) 。忠於原句的文法結構,也可寫作 ∀x(Ax→Wx)∨∃x(Ax∧∼Wx)。學過述詞邏輯應該要看得出 ∼∀x(Ax→Wx) 和 ∃x(Ax∧∼Wx) 等值。
  6. ∀x(Ax→(Wx∨∼Wx)) 必定是真的。若果它為假,會蘊涵有東西是 Wx∧∼Wx ,因此它不可能是假的。
最後是兩個牢騒:
  1. 有太多邏輯真理都不是套套邏輯,因此我才會說:「以語句邏輯的 A→B 並非「套套邏輯」(應該是指 tautology)為理由,批評 “I think, therefore I am” 無效,根本滑稽。
  2. 我不喜歡把 “tautology” 譯做「套套邏輯」,雖然就音譯而言它十分貼切,不過卻太誤導,會令人以為「套套邏輯」是像「古典邏輯」、「三值邏輯」般的邏輯系統。我目前只知道 “tautology” 另外有兩個翻譯,一個是「恆真句」,一個是「重言句」,個人較偏好後者。
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