套套邏輯與邏輯真理

「套套邏輯」(tautology)是形式邏輯的概念,有不少人喜歡把它掛嘴邊,卻不知道它侷限甚大,適用範圍遠不如形式邏輯裡的「邏輯真理」(logical truth)。就以最多人熟悉的古典邏輯為例,以下幾個句子,學過古典邏輯,看你分不分得出哪些是套套邏輯,哪些是邏輯真理:
  1. 藝術家都有怪僻
  2. 所有藝術家都要麼有怪僻,要麼很固執
  3. 要麼所有藝術家都有怪僻,要麼有些藝術家沒有怪僻
  4. 所有藝術家都要麼有怪僻,要麼沒有怪僻
在講答案之前,先複習一下形式邏輯,將上述四句翻譯成語句邏輯,再另外翻譯成述詞邏輯。

譯成語句邏輯,那四句分別會是:
  1. P
  2. Q
  3. P∨∼P
  4. R
譯成述詞邏輯,則會是:
  1. ∀x(Ax→Wx)
  2. ∀x(Ax→(Wx∨Sx))
  3. ∀x(Ax→Wx)∨∃x(Ax∧∼Wx) (此句與 ∀x(Ax→Wx)∨∼∀x(Ax→Wx) 等值)
  4. ∀x(Ax→(Wx∨∼Wx))
答案是:那四句之中,只有 3 是套套邏輯,而 3 和 4 都是邏輯真理。

「套套邏輯」其實是指,一旦寫成語句邏輯就必定會為真的語句。那四句寫成語句邏輯後,就只有 3 必定是真的,因此只有 3 是套套邏輯。相較之下,「邏輯真理」的範圍可就闊得多,寫成述詞邏輯後必定為真的,一律都是邏輯真理。 3 和 4 譯成述詞邏輯,兩者都必定是真的,因此兩者皆為邏輯真理。

在語句邏輯必定為真的語句,改寫成述詞邏輯也必定為真,因此套套邏輯都是邏輯真理。反之則不然: 4 證明邏輯真理未必都是套套邏輯。


***

我不想把解釋寫太長,如果你已學過基礎邏輯仍看不懂,可能是由於你沒有搞清楚這幾個基本概念:
  1. 不要看到「要麼…要麼…」都一律翻譯成「…∨…」。語句邏輯的「∨」兩側都必須是完整語句, 2 和 4 不是這種情況。譬如, 2 的「要麼」是連結「怪僻」和「固執」,這兩個都不是完整語句
  2. 2 和 4 其實已是單位最小的完整語句,無法再分拆成更細的語句,因此它們都是簡單述句。
  3. 簡單述句在語句邏輯都一定有真有假,不可能是套套邏輯,因此 1, 2 和 4 都不可能是套套邏輯。(簡單一句 “War is war” 在語句邏輯也只是簡單述句,因此不是套套邏輯。)
  4. 「所有藝術家都有怪僻」和「有些藝術家沒有怪僻」互相矛盾,因此在語句邏輯要寫成 P∨∼P 。
  5. 「所有藝術家都有怪僻」和「有些藝術家沒有怪僻」在述詞邏輯可寫成 ∀x(Ax→Wx)∨∼∀x(Ax→Wx) 。忠於原句的文法結構,也可寫作 ∀x(Ax→Wx)∨∃x(Ax∧∼Wx)。學過述詞邏輯應該要看得出 ∼∀x(Ax→Wx) 和 ∃x(Ax∧∼Wx) 等值。
  6. ∀x(Ax→(Wx∨∼Wx)) 必定是真的。若果它為假,會蘊涵有東西是 Wx∧∼Wx ,因此它不可能是假的。
最後是兩個牢騒:
  1. 有太多邏輯真理都不是套套邏輯,因此我才會說:「以語句邏輯的 A→B 並非「套套邏輯」(應該是指 tautology)為理由,批評 “I think, therefore I am” 無效,根本滑稽。
  2. 我不喜歡把 “tautology” 譯做「套套邏輯」,雖然就音譯而言它十分貼切,不過卻太誤導,會令人以為「套套邏輯」是像「古典邏輯」、「三值邏輯」般的邏輯系統。我目前只知道 “tautology” 另外有兩個翻譯,一個是「恆真句」,一個是「重言句」,個人較偏好後者。

22 則留言:

  1. 翻譯成套套邏輯才能出套套T斂財

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  2. 才能夠在放套套T的圖片時放套套的照片 (誤)

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  3. 請問 Joe 認為 “This candidate will win or will not win.” 是不是 totology 呢?

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  4. 一般來說(撇除麻煩的哲學討論)會把它當成 tautology

    P = this candidate will win
    ~P = this candidate will not win
    P∨~P = this candidate will win or this candidate will not win = this candidate will win or will not win

    但嚴格來說,要不要當成 tautology ,還要視乎兩點
    1. “this candidate” 有指到一個對象
    2. this candidate will not win = it is not the case that this candidate will win

    有人可能基於某些哲學理由,不接受這兩點,進而認為 “this candidate will win or will not win” 不該譯成 P∨~P ,而不是 tautology 。這就不是邏輯問題,是哲學問題。

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  5. 我的疑惑是那句似乎也能比照 4. 譯成形式邏輯 $∀x(Cx→(Wx∨∼Wx))$ (Cx: x is this candidate; Wx: x will win),而譯成語句邏輯就是單一命題 $R'$

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  6. “this candidate” 是用來指單一對象的詞,依慣例要用個體常元 (individual constant) ,不會把它翻成述詞 Cx

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  7. 有幾個問題想請教一下。

    考慮下述句子:

    A: 1 + 2 = 3

    1) 請問A是否套套邏輯(或重言句)?如果是,如何把它寫成語句邏輯而令其成為必定真的語句?

    2) 請問A是否邏輯真理?如果是,如何把它寫成述詞邏輯而令其成為必定真的語句?

    3) 有人把「重言句」(tautology)界定為「只須了解其意思就足以判定其為真的句子」(李天命的思考藝術(最終定本),第100頁)。

    這個定義似乎比你的定義廣闊,包括了(在你定義下的)套套邏輯和邏輯真理,也包括其他語句(例如「所有狗都是犬」)。我想問這個定義是否和一般哲學和邏輯上的定義不同?是否有毛病?

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  8. 1. 不是 tautology. 這一句用語句邏輯寫不是必定為真(不是在所有 interpretation 底下皆為真)。
    2. 是。不過要先用集合論定義自然數及加法的operator,再改寫成一階述詞邏輯。(如果你認為集合論所定義的自然數不是我們日常講的自然數,這個方法就行不通,同時也會扯到數學哲學的問題。)
    3. 李天命故意用「重言句」來表達「同義反覆」,也就是分析句 (analytic statement) 的意思。這樣定義的「重言句」確實不限於形式邏輯裡的必真句(true in all interpretations),不過用「所有狗都是犬」充例子還不夠明顯,因為「所有狗都是犬」依照慣例會寫成「∀x(Dx→Dx)」,還是必定真。估計你想用的是「所有單身漢都是男人」這類語意蘊涵的例子。但我想他的定義應該未至於有甚麼「衝突」或者是「毛病」,畢竟他有清晰的說明和釐清,很明顯不是想用形式邏輯裡常見的 “tautology” 的意思,把它看成 homonym 就好了。

    額外岔題補充一點脈絡。我說的 “tautology” 和 “logical truth” 的區分是邏輯導論書的主流用法,這個區分主要是要劃開語句邏輯裡的必真句和述詞邏輯裡的必真句。有些書不用這個區分,也有一樣的效果,例如 Theodore Sider 的 Logic for Philosophy 主要是用 “PL-valid” 和 “PC-valid” 。(但他也有提到 “tautology” (p.3) ,而且與我說的定義等值。)

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  9. 中文維基百科英文維基百科有列出幾種套套邏輯或tautology的詮釋,我想這個詞是真的有幾種不同用法,把它們全部理解成命題邏輯系統上的tautology可能不是很恰當。


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  10. 謝謝Joe和phantoms。

    在李天命的書裡有以下一段:

    「在數學基礎論的語境中, 邏輯家給2作出如下的界定則非但不屬庸人自擾, 反而蘊藏了極深的洞見 ---- 2 =df {α:ΣxΣy [xεα & yεα & x=/=y] & ΠuΠvΠw [(uεα & vεα & wεα) →(u=v V u=w V v=w)]} 」(李天命的思考藝術,最終定本,頁212,213)

    上述對「2」的界定是否「用集合論定義自然數」的例子?

    有沒有地方(書,網頁之類)可以找到用集合論定義「+」的論述?

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  11. Keith chung:

    是的(「Σ」是「∃」,「Π」是「∀」)。這個定義說: 2 是一個由有而且只有兩個成員的集合所形成的集合。這是 Gottlob Frege 的定義,還有其他集合論定義,例如 2 在 von Neumann 的自然數算術系統是 {∅,{∅}} ,在 Zermelo 的是 {{∅}} 。「+」這個 operator 要配合相應的系統。

    網路資源我不清楚,書的話我建議 Herbert Enderton (1977) Elements of Set Theory, 第4章。作者用 von Neumann 的定義,而「+」這個 operator 的定義在 p.79. 用函數來定義「+」,而函數本身可以改寫成一階述詞邏輯,只是完整的寫出來會很麻煩而已。

    好奇問一下,你為甚麼對「將算術寫成形式邏輯」有興趣?

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  12. phantoms:

    我沒有排除大家用別的意思的 “tautology” ,只要脈絡清晰就不會造成甚麼問題。但是這個詞從最初由維根斯坦創,到現在的嚴格用法,都是語句/命題邏輯的必真句。坊間當然可以借來用做其他意思,例如「強調那是如同語句邏輯的必真句般的廢話」,但無礙我的說明。

    中文維基百科那幾個條目不是你寫的嗎?

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  13. 那幾個條目的內容是我整理的,不過那些用法也不是無中生有,是根據英語維基百科(英語維基百科的條目不是我寫的)列出的用法及一般使用方式整理的。

    這個詞從最初由維根斯坦創?似乎不太可能,維基詞典說這個詞來自希臘語,維根斯坦不是古希臘的人吧?古希臘人一開始創立這個詞會用來指涉命題邏輯的概念嗎?我不確定,維基百科說命題邏輯在西元前三世紀就有了,那時候希臘語的「tautology」究竟是命題邏輯上的專有名詞,或是一般「同義反覆」、「冗言」的意思,可能還要考證。

    所以究竟是一般人把哲學家的術語借去用,還是哲學家把一般人的用語借去特別定義,還沒有那麼清楚呢~~

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  14. Joe:

    純粹是「智性上的好奇」(^v^)。

    年少時讀李天命看到前述那條「水蛇春咁長」的符號串,冀望終有一天看得明明白白,及後在大學選了一門Introduction to Symbolic Logic,馬馬虎虎算是明其大概,覺得那個界定很聰明(尤其是「最多有兩個成員」那段),因此也想看看邏輯家如何用述詞邏輯界定「+」。

    我不是哲學專業,也不是數理專業,您的答案我也只能明其大概,不過很感謝您的推介,那本書我在圖書館見過,希望不會太複雜……

    另,您說的由維根斯坦所創的「tautology」,是否出自《Tractatus Logico-Philosophicus》的這一段?

    4.46
    Among the possible groups of truth-conditions there are two extreme cases.
    In the one case the proposition is true for all the truth-possibilities of the elementary propositions. We say that the truth-conditions are tautological.
    In the second case the proposition is false for all the truth-possibilities. The truth-conditions are self-contradictory.
    In the first case we call the proposition a tautology, in the second case a contradiction.

    另外,在《Tractatus Logico-Philosophicus》有以下一段:

    6.1201
    That e.g. the propositions “p” and “~p” in the connexion “~ (p . ~p)” give a tautology shows that they contradict one another. That the propositions “p ⊃ q”, “p” and “q” connected together in the form “(p ⊃ q) . (p) : ⊃ : (q)” give a tautology shows that q follows from p and p ⊃ q. That “(x) . fx : ⊃ : fa” is a tautology shows that fa follows from (x) : fx, etc. etc.

    其中最後那句「That “(x) . fx : ⊃ : fa” is a tautology …...」會否和您說的「套套邏輯其實是指,一旦寫成語句邏輯就必定會為真的語句」有衝突呢?

    另外,如果可以的話,可否寫一點關於維根斯坦哲學的文章(不論是前期還是後期的)。我對維根斯坦很有興趣,不過老是看不明白……

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  15. phantoms:

    抱歉,我說的「這個詞」是指「邏輯的 “tautology” 」。據我所知維根斯坦是第一個這樣用,而且有嚴格定義的人。你說公元三世紀就有命題邏輯,我以前也沒聽過,追查來源是出自 SEP ,那應該是信得過,但我沒有研究過,就不多說。

    同樣,這不妨礙我說明形式邏輯的 “tautology” 。我正文是在說明形式邏輯裡 “tautology” 和 “logical truth” 在主流用法有甚麼差異,而不是在排除別人不能用 “tautology” 這個記號當作 homonym ,我甚至已經在留言說了有邏輯書不用這個詞。


    Keith Chung:

    是來自 Tractatus Logico-Philosophicus 沒錯,也正是你引的 4.46 。他在 4.46 定義 “taugology” 說的是 “elementary propositions” ,基本單位是有真假的命題,而在那幾段(4.31, 4.442)他的處理方法就是後來我們說的真值表,處理的對象是當代的(語句)命題邏輯。麻煩的是,雖然他一直都在說命題,但他說的系統跟當代說的「命題邏輯」很不一樣,你應該也有看到 3.333 就已經出現一堆當代述詞邏輯才有的函數符號和量詞符號,在 proposition 6 甚至將一種處理語意的方法擴充到當代說的述詞邏輯。在這方面的用法上跟我講的 “tautology” 有衝突,也說明他實際用起來的 tautology 比當代流行的用法更廣(甚至,我懷疑,比他在 4.46 所定義的 tautology 更廣)。

    我直接列幾本書佐證現在導論書流行的 “tautology” 是侷限在(語句)命題邏輯

    Causey, Robert (2006). Logic, Sets, and Recursion (2ed), pp. 43, 389
    Copi, Irving M. and Cohen, Carl (1990). Introduction to logic. p. 287
    Hausman, Alan & Kahane, Howard & Tidman, Paul (2010) Logic and Philosophy A Modern Introduction, pp. 64-66, 85.
    Priest, Graham (2008). An Introduction to Non-Classical Logic (2nd), p. 71 (4.4a.15 “truth-functional tautology”)
    Sider, Theodore (2010). Logic for Philosophy. p. 3 (“all Trues in the truth table”)

    btw, 以前我也看不懂李天命寫的符號,不過讀過一點基礎邏輯和基礎集合論的書之後,回頭去看基本上都能理解。另外,維根斯坦不容易讀,後期維根斯坦就更不用說,我對維根斯坦哲學的理解連「略懂」都稱不上,恐怕要令你失望。

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  16. 那麼維根斯坦是否犯了概念滑轉的語害?(^V^)

    不寫維根斯坦,可否寫一下日常語言學派的哲學(例如John Wisdom,J.L. Austin,P.F. Strawson,Gilbert Ryle等人的哲學)。抱歉,好像點唱似的……

    另外經濟學家張五常的這個定義有沒有問題?

    「所謂套套邏輯,是指一些言論,在任何情況下都不可能是錯的。說得更嚴謹一點,套套邏輯不可能被想像為錯!舉一個例,假若我說:「四足動物有四隻腳。」這怎可能會錯呢?句子內的後半部重述了前半部的意思,即使我們花很大功夫也不可能想像到它在怎樣的情況下會是錯的。」(科學說需求,頁35,36)

    百度直接引了張五常教授的文章作為「tautology」的解釋,看來這個定義也蠻有影響力的。
    http://baike.baidu.com/view/1608104.htm

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  17. Keith Chung:

    //不寫維根斯坦,可否寫一下日常語言學派的哲學(例如John Wisdom,J.L. Austin,P.F. Strawson,Gilbert Ryle等人的哲學)。抱歉,好像點唱似的……//

    我學藝未精啊...。 Austin 的話有一本小書挺好看,書名是《How to Do Things With Words》,這本我很推薦。

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  18. 上面Keith引的那段維根斯坦,他定義的tautology是:

    In the one case the proposition is true for all the truth-possibilities of the elementary propositions. We say that the truth-conditions are tautological.

    即只要在所有可能既情況下都為真的句子即為tautology,那這樣說文章中說的所有邏輯真理都是維根斯場定義下的tautology。所以看來你文中指的那個區分來源不會是維根斯坦......真不知為何後來邏輯學家要把tautology變成現在用的這個用法了。

    btw,問一個翻譯問題。你說有人會把tautology翻成「恆真句」,那豈不是同時指涉所有恆真的句子(包括不是tautology的logical truth)? 看來這樣翻的人應該壓根兒不是按你這文章裏說的區分來理解「tautology」這概念......

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    1. 係啊~我當時查 Tractatus 有看到,所以我回覆 Keith 那段有說,維根斯坦用的字是「elementary proposition」,不過麻煩的是他的 elementary proposition 和當代邏輯不一樣。看了 soames 的 Philosophical Analysis (vol.1, pp.221-225) 之後,我相信維根斯坦的 “tautology” 確實就是古典邏輯的 logical truth 。(他的邏輯系統只有 N 一個 operator ,但功能等於古典述詞邏輯五個連詞和兩個量詞。)不過現今流行邏輯書的 “tautology” 仍是指命題邏輯的必真句,至於為何當代有此轉折,我也不清楚。

      「恆真句」是我大學時最常聽到的翻譯,專門譯 “tautology” ,而且確是只限於命題邏輯的必真句,你指出的是這個翻譯不好的地方,不過確實有此翻譯,只是這個譯法對上課無甚麼影響,因為老師上課還是習慣直接用英文 “tautology” ,中譯只是為了方便學生,有時甚少講究。(不過我有一位老師在翻譯方面相當講究。)

      btw, 港台翻譯有不少地方差異甚大,例如台灣甚少用「重言句」,相反香港經常用;台灣用「有效」(valid)和「完備」(sound),香港用「對確」(valid)和「真確」(sound)。這些翻譯其實都頗值得細談,例如我聽過 C 老師講「譯做『有效』明顯是錯的」,而我現在也覺得「對確」是比較好的翻譯,只是想統一用法所以才繼續用「有效」。

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    2. 可以問為什麼認為 valid 譯為「對確」比「有效」更好嗎?

      另外,sound 在台灣也常翻譯為「健全」、「妥當」(我個人很少看到「完備」),再加上港譯的「真確」,Joe 認為何者較恰當呢?

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    3. 因為邏輯裡討論的 “valid” 是術語,不是日常生活用的意思。「有效論證」貌似有日常意思,沒有接觸過邏輯的人碰到這個字可能會望字生義、誤以為自己明白,相反「對確論證」不是日常用字,可以避免這種誤會。當然,如果討論雙方都清楚彼此用「有效論證」僅僅是 “valid” 的中譯,或者僅僅是它在邏輯裡規定的意思,那麼,用哪個字影響也不大。

      “sound” 的話我沒甚麼偏好,好像都差不多。

      不過我見過一個模式的譯法,

      valid (對確) & sound (真確)
      strong (強); & cogent (真強)

      sound 和 cogent 都是加上「前提全部為真」的條件,這個譯法底下把「真」放在前頭,似乎不錯。

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