一個關於羅素悖論的小故事

via MBA lib
今日的古典邏輯主要來自兩路人馬,一路是羅素 (Bertrand Russell) 和白頭佬 (Alfred North Whitehead) ,另一路很可憐,只有弗列格 (Gottlob Frege) 一人,兩邊各自(半)獨立的創了今日古典邏輯的雛型。算起來弗列格比羅素更早出版他的邏輯系統,而且羅素似乎有參考弗列格的設定,因此也有人說羅素創的邏輯系統其實是在改善弗列格系統。弗列格和羅素同時是公認最早的分析哲學家,也是最早期的邏輯主義者 (logicist) 。

所謂「早期的邏輯主義者」,是指十九世紀末至二十世紀初,認為數學可以全盤囊括入邏輯之內的數學哲學家。嚴格來說, Richard Dedekind 是比弗列格更早開展邏輯主義計畫的數學家,但弗列格的系統整體上更接近當代的邏輯,所以很多時候會稱弗列格為第一個。這群人之中,弗列格是第一個提出完整的邏輯系統,企圖將數學化約成邏輯(加上一些近似集合的概念)。弗列格原本預計要出三冊書,第一冊出版後,眼看成功在望,卻在第二冊出版前夕收到羅素的來信。那封信很短,英文也只有一頁左右,裡面記載一個哲學系很喜歡的悖論──羅素悖論 (Russell Paradox) 。弗列格知道這個悖論後,馬上回信,並連忙修改第二冊書,然而,在第二冊出版後,他發現自己的修正始終有問題,最後的第三冊書也無疾而終。套警匪片的話語,你可以說羅素爆破了弗列格的邏輯主義計畫。

羅素一封來信,弗列格一封回信,兩封信合起來也不過三頁,這三頁卻比起之前讀過的長文更令我欽敬這兩位大哲學家。

收到陌生人來信,指你窮一生精力創建的系統有嚴重缺陷,正常人會感到抗拒。弗列格可能也是,不過他的回信不但體面,行文甚至透露出對羅素的賞識。羅素在來信高興地分享他自己寫書的計畫,稱自己雖然已經有部分弗列格的著作,仍希望弗列格能寄再版的著作給他,不過就算弗列格不寄,他也會掏腰包自己買,或是去圖書館借來讀。(當時羅素應該還未成名,是個窮書生。)弗列格收到羅素的信,在那年代,二話不說就將自己五本著作寄給羅素,他不但羅素的發現表示感激,甚至在指出羅素建構悖論的瑕疵後,幫他修正悖論。羅素的發現可能會摧毀自己的計畫,甚至動搖整個心目中理想數學的根基,弗列格對此感到惆悵,但比起自己的事,弗列格的眼光放在更宏觀在邏輯學發展,他在回信稱讚羅素的發現「可能會是邏輯學的一大進步」:
In any case your discovery is very remarkable and will perhaps result in a great advance in logic, unwelcome as it may seem at first glance. (van Heijenoort, 1967, From Frege to Gödel, p. 128)
弗列格的哲學在他的年代一直默默無聞。他真正受到英美學界注意──有時甚至被譽為英美分析哲學的祖師爺──要歸功幾個人,其中一個當然是他一生中絕無僅有的門生(之一)卡納普 (Rudolf Carnap) ,因為卡納普將弗列格的著作由德文譯成英文,才有一大群英語讀者。但是還有一個人居功至偉,那就是爆破弗列格計畫的羅素。羅素在二十世紀初出頭,漸享盛名,他有不少著名文章都提到弗列格,令其他人留意到「有一個搞邏輯搞語哲的傢伙,羅素一直起提他」,因而對弗列格感到好奇,開始跟進並且推崇弗列格的思想。直到今日,語言哲學有一個大派別叫做 “Fregean” ,便是以弗列格命名。

1962 年, van Heijenoort 要出版一本經典論文集,收集由弗列格到哥德爾期間重要的數理邏輯著作(正是我參考的文獻)。他寄信詢問羅素肯不肯公開與弗列格的書信,當他收到羅素的回覆時,發現還有一封短信:
As I think about acts of integrity and grace, I realise that there is nothing in my knowledge to compare with Frege’s dedication to truth. His entire life’s work was on the verge of completion, much of his work had been ignored to the benefit of men infinitely less capable, his second volume was about to be published, and upon finding that his fundamental assumption was in error, he responded with intellectual pleasure clearly submerging any feelings of personal disappointment. It was almost superhuman and a telling indication of that of which men are capable if their dedication is to creative work and knowledge instead of cruder efforts to dominate and be known. (van Heijenoort, 1967, From Frege to Gödel, p. 128)
對於這封短信, van Heijenoort 描述:讀者可以看到羅素對弗列格的 “stirring tribute” 。那時羅素在學界早已地位斐然,沒有必要拍誰的馬屁,大可不必額外寫這封信,更沒有必要如此卑躬屈膝,稱自己「的知識絕對及不上弗列格對真理的奉獻」。這封不必要的短信,充分顯示羅素是打從心底尊敬弗列格。



參考文獻
Heijenoort, J. Van (ed.) (1967). From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic. 1879-1931. Harvard University Press.

7 則留言:

  1. 我反而對羅素反基督的論調有興趣
    另外,「哥德爾不完備定理」是什麼?
    一般人很難理解啊(但誤用很多...)

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  2. 哈哈!你也太跳tone了吧,竟然想到哥德爾不完備定理。我的數理不大濟,只能從以前讀過的書稍為整理出幾個講法。

    哥德爾不完備定理有兩個,分別是第一不完備定理和第二不完備定理。這兩個定理最簡略兼淺化的講法是:

    第一不完備定理:任何一套夠強又一致的形式系統,都會有些語句和它的否定無法從系統內推出。
    第二不完備定理:任何一套夠強又一致的形式系統,都無法(在系統內)證明它自己是一致的。

    形式系統是指數學和邏輯那類人工語言。所謂的「夠強」其實是要符合幾個條件,可暫時將它看成「表達力夠強」,例如現今的邏輯系統就是一套表達力夠強的系統,可以處理大量日常生活用的句子、推論。哥德爾不完備定理有一個後果,就是把算術(主要處理加減乘除的系統)弄成形式系統後,我們沒辦法靠那套系統來推論出所有數學真理,因為所有數學語句和它的否定都總有一個是必定真的 (cf. 1+1=2 vs 1+1≠2) ,但不完備定理證明總有一句推不出來。這個發現對數學家和某群數學哲學家來說,比hktv不獲發牌還要駭人。

    如果要講更細,第一不完備定理的「夠強又一致的系統」其實是有三個條件
    1. ω-consistent
    2. 可以用遞迴性定義界定的公設和推論規則
    3. 每個遞迴性關係都是可定義的 (definable)
    這三個都是術語,我用的是 Hunter 書裡的界定,符合這三個條件的話,根據第一不完備性,一定有個閉公式 (closed wff) 是:系統沒辦法推論出 $∀xFx$ ,也沒辦法推論出 $∼∀xFx$。
    第二不完備定理是哥德爾在1931年發表,它將羅素的邏輯系統加入皮亞諾算術的公設,然後證明這套系統如果一致,便無法證明自己一致。


    假定你不是在考我,而覺得不還夠味,或者可參考以下三本二手文獻,第一本最簡單:
    1. Nagel, Ernest & Newman, James Roy (2001). Gödel's Proof
    2. Geogre, Alexander & Velleman, Daniel J. (2002). Philosophies of Mathematics. (pp. 161, 165, 192, 198-9)
    3. Hunter, Geoffrey (1973). Metalogic An Introduction to the Metatheory of Standard First Order Logic. (pp. 256-257)
    或者直接挑戰原文:
    4. Godel, Kurt (1986). Collected Works. Volum I Publications 1929-1936. S. Feferman, S. Kleene, G. Moore, R. Solovay, and J. van Heijenoort (eds.). (1930b 和 1931).

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  3. 「如果要講更細…」之前勉強看得懂...
    數學家和某群數學哲學家的夢想破滅??羅素是其中之一嗎?
    真的沒其他方法嗎?

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  4. 哥德爾不完備性威脅的主要是擁抱 Hilbert’s program 的數學哲學家,即是想將數學寫成純粹只看語法的形式系統,由內含有限的公設和步驟,兼且是一致的系統,推論出所有數學真理的哲學家。這不是邏輯主義者的計畫,所以羅素應該不會因此而夢想破滅(但是對卡納普的數哲計畫有威脅)。實際上 Hilbert’s program 有否徹底被摧毀仍有轉彎的餘地,因為不完備定理有幾個前提,說不定有不符合不完備定理前提的系統可以實踐 Hilbert’s program 。

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  5. 現在才想到你為甚麼會問羅素是其中一個。羅素的邏輯主義計畫叫做 Type Theory ,跟他的邏輯系統不太一樣。

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  6. "2. 可以用遞迴性定義界定的公設和推論規則"
    這邊有點怪怪的,Gödel's incompleteness theorems應該是預設公設和推論規則構成一個recursive set(如果規定計算函數必須是ℕ^k--->ℕ^m,其中ℕ是自然數集合,那就是axiom的Gödel number set必須 recursive),但這邊和遞迴性定義(recursive definition)有一些差異,recursive set就是computable set(可計算集合),只是因為一些歷史的緣故,才被稱為recursive set。但和recursive definition是不同的東西。換句話說,其實Gödel's incompleteness theorems有一個非常重要的條件限制,就是你的公理系統、推論規則是可計算的,例如能用一個圖靈機(Turing machine)或是等價的系統(例如Post machine, untyped lambda calculus, Markov system, recursive functions)。甚至,當推論系統和公理集合是一個recursive enumerable set的時候也會對。
    後來我跑去讀一下你說的那本書,書上用的是recursively definable set, 這邊指的應該是recursive set而不是recursive definition.

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  7. logicer:

    你是對的,那句應該是「2. 遞迴地可定義的公設和推論規則」。感謝!

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