2013年11月11日

其實這才是上一篇的正文,那原本是要寫羅素悖論爆破弗列格的邏輯系統,但前言愈寫愈多,就……。羅素悖論主要是針對弗列格系統的第五公設 (Basic Law V) ,而我原本是想用一個無趣的方法寫一次如何從第五公設導出悖論,於是成就了這篇。(集合論的部分可先參考 etc-tera 的〈樸素集合論淺介〉前三節。)

第五公設,若用今日比較熟悉的集合論及邏輯語言表達,會是:

{x:Fx}={x:Gx} ↔ ∀x(Fx↔Gx)

它的大意是:如果 {x:Fx} 和 {x:Gx} 是同一個集合,則所有是 F 的東西和是 G 的東西是同一群;反之,如果是 F 和是 G 的東西是同一群,則 {x:Fx} 和 {x:Gx} 是同一個集合。舉個例子, {x : x is a human} 是由所有人類組成的集合, {x: x is a rational animal} 是由所有理性動物組成的集合,第五公設說:如果人類集和理性動物集是同一個集合,則人類和理性動物是同一群東西;反之,如果人類和理性動物是同一群東西,則人類集和理性動物集是同一個集合。

接下來就要動用駭人的邏輯符號。先假定「Px」的意思是「 x 不是 x 的成員」,由於以下這句是邏輯真理:

∀x(Px↔Px)
意思:是 P 的東西和是 P 的東西是同一群東西

所以根據第五公設,由右至左,可得到


{x:Px} = {x:Px}
意思:由是 P 的東西組成的集合 = 由是 P 的東西組成的集合

這是個句子,與「小明=小明」一樣,只是集合論符號令它莫名犀利。套用一階邏輯的規則 Existential Generalization (EG),可以推論出:


∃y(y={x:Px})
意思:至少有個 y , y = 由是 P 的東西組成的集合

至此已差不多可以結束,因為已證明有這個集合,而這個集合其實就是傳說中的羅素集。接下來有點多餘,只是要解釋如何從這個羅素集推出矛盾。

由於有個 y 是由是 P 的東西組成的集合,它是個集合,裡面的成員都是「是 P 的東西」,所以可以推出「所有(亦只有) y 的成員都是 P 」:

∀x(x∈y↔Px)
意思:任何一個 x , x 是 y 的成員,若且唯若, x 是 P

上一步已推出有 y 這個集合了,這一步推出 y 集合裡的成員都是是 P 的東西。問題是,哪些是是 P 的東西?這點在第一步已規定好,「 Px」(x 是 P)意思是「 x 不是 x 的成員」,換成符號就是「x∉x」,所那這句的意思其實是:

∀x(x∈y ↔ x∉x)
對於所有 x , x 是 y 的成員,若且唯若, x 都不是 x 的成員

由於 “x” 泛指任何東西,自然也包括 y 。最後一步是一階邏輯的 Universal Instantiation (UI) ,將 “x” 換做 “y” ,得到矛盾句:

y∈y ↔ y∉y
y 是 y 的成員,若且唯若, y 不是 y 的成員

大功告成!



參考文獻
Hart, W. D. (2010). The Evolution of Logic. Cambridge University Press.
Shapiro, Stewart (2000). Thinking About Mathematics: The Philosophy of Mathematics. Oxford University Press.

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