2013年11月3日

古典邏輯 (classical logic) 可分為語句邏輯和述詞邏輯兩部份,第二部份通常是指一階述詞邏輯 (first-order logic) 。實際上,除了一階述詞邏輯,尚有二階、三階、甚至無限階述詞邏輯,最先提出今日古典邏輯架構的分析哲學祖師爺弗列格 (Gottlob Frege, 1848-1925) 便是同時是無限階邏輯系統的始創人。

陳述句常包含兩個要素:單稱詞 (singular term) 和述詞 (predicate) 。弗列格認為,單稱詞指稱物件;述詞是語句刪去單稱詞剩下的部份,指稱概念 (concept) 。舉例來說, (1) 是一個完整的語句:

(1). Kant was born before Frege.

這句話有兩個單稱詞,分別是 “Kant” 和 “Frege” 。無論是把 “Kant” 刪去還是把 “Frege” 刪去還是兩個都刪去,剩下的部份都會是述詞:

(2).  ...was born before Frege
(3). Kant was born before...
(4). ...was born before...

不同之處在於, (2) 和 (3) 都是一位述詞 (one-place predicate) ,藉由刪去一個單稱詞所形成的述詞; (4) 則是二位述詞 (two-place predicate) ,係由刪去兩個單稱詞所形成的述詞。此外,若果你想要,還有三位述詞、四位述詞等透過刪去多個單稱詞所形成的述詞。

不過,暫時為止我們所看到的述詞都只限於第一階 (the first-level predicate) 。一階邏輯只允許量化詞 (quantifier) 所拘束的變元填單稱詞,如 “Kant” 和 “Frege” ,但二階邏輯 (second-order logic) 則進一步允許量化詞拘束的變元填一階述詞。譬如,

(5). All dogs are mammals
(6). ∀x(x is a dog → x is a mammal)

(5) 是一句直述句,它翻譯成一階邏輯會類似 (6) ,其中在 (6) 受量化詞 “∀” 拘束的變元 x 只可替換成單稱詞, “...is a dog” 和 “...is a mammal” 是兩個出現在 (6) 的述詞。二階述詞 (second-level predicate) 有別於一階述詞,是刪去一階述詞剩下的部份。

(7). ∀x(...x...→ x is a mammal)

(7) 就是透過刪去 (6) 的其中一個述詞 “...is a dog” 所形成。若果用量化詞拘束這個一階述詞,便會成為二階邏輯的語句,例如 (8)

(8). ∀F∀x(Fx → x is a mammal)

透過相似的方法,刪去二階述詞形成三階述詞,刪去三階述詞形成四階述詞……弗列格邏輯系統容許無限多階的述詞,屬於無限階邏輯系統。

有一點要注意的是,一階邏輯可以出現一階述詞,例如把 (6) 寫成 (9) 。

(9). ∀x(Fx→Mx)

一階邏輯有別於二階邏輯的地方在於量化詞所能拘束的變元種類,而不是能出現的述詞種類(或階級)。更廣泛地說, n 階邏輯容許量化詞拘束 n-1 階述詞,而它可以出現第 n 階述詞。

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