2013年11月2日

與朋友討論 David Lewis 的 “Causation” ,特別針對 irreversible counterfactual dependence 的例子 (1973, The Journal of Philosophy, p. 564) 花了一段時間思考反例。我那時未讀原文,還未搞清楚狀態,剛把文章看了一遍,總算明白他的例子。

Lewis 那篇文用的「$\Box\mspace{-7.0mu}\to$」表示反事實條件句 (counterfactual) ,據他的分析,「$P\Box\mspace{-7.0mu}\to Q$」在 w 為真只需符合以下兩個條件其中一個:
  1. $P$ 在所有可能世界都不是真的 ( $P$ 不可能為真)
  2. $P$ 與 $Q$ 俱真的可能世界,比起 $P$ 真而 $Q$ 假的世界更似 w
符合第一個條件叫 vacuously true ,因為它是由於前件必定不為真而導致整句真。第二個條件相當重要,因為 Lewis 有許多理論都與可能世界的相似性有關,他的反事實條件句邏輯更是基於此發展出來。

那問題是這樣的,有沒有可能以下的 (i) 成立,但 (ii) 不成立?

(i). $(A_1\Box\mspace{-7.0mu}\to C_1)∧(A_2\Box\mspace{-7.0mu}\to C_2)∧(A_3\Box\mspace{-7.0mu}\to C_3)$
(ii). $[(A∧C_1)\Box\mspace{-7.0mu}\to A_1]∧[(A∧C_2)\Box\mspace{-7.0mu}\to A_2]∧[(A∧C_3)\Box\mspace{-7.0mu}\to A_3]$

其中 $A$ 是 $(A_1∨A_2∨A_3)$ 的縮寫,所以 (ii) 其實分成三個條件:

(ii-a). $[(A_1∨A_2∨A_3)∧C_1]\Box\mspace{-7.0mu}\to A_1$
(ii-b). $[(A_1∨A_2∨A_3)∧C_2]\Box\mspace{-7.0mu}\to A_2$
(ii-c). $[(A_1∨A_2∨A_3)∧C_3]\Box\mspace{-7.0mu}\to A_3$

Lewis 舉的反例十分簡潔,他用一幅圖表示某個可能世界的模型:


在此模型「@」表示現實世界,另外四個黑點表示四個可能世界,離現實世界愈近代表愈相似。檢查 (i) 和 (ii) 是否成立之前,須注意此模型的 $A_1$ 、 $A_2$ 、 $A_3$ 、 $C_1$ 、 $C_2$ 、 $C_3$ 全都至少在某些世界為真,所以不會出現 vacuously true 的情形,只要考條第二個條件。此外,現在要考慮這些反事實條件句在現實世界 @ 是否為真,所以要以現實世界為標準,檢查其他世界哪個較相似 @ 。再者 $A_1$ 、 $A_2$ 、 $A_3$ 為互斥事件,每個世界最多只有一個為真; $C_1$ 、 $C_2$ 、 $C_3$ 也一樣。

現檢查 (i) 的三句。首先看 $(A_1\Box\mspace{-7.0mu}\to C_1)$ 是否成立,先找 $A_1$ 為真又與 @ 最似的世界,發現 $A_1$ 就在 @ 為真,沒有可能世界比現實世界更似現實世界,而 $C_1$ 在 @ 也為真,因此 $(A_1\Box\mspace{-7.0mu}\to C_1)$ 成立。同樣地, $A_2$ 為真又最近 @ 的世界在最左邊,發現 $C_2$ 為真,因此 $(A_2\Box\mspace{-7.0mu}\to C_2)$ 成立。透過類似方法可發現 $(A_3\Box\mspace{-7.0mu}\to C_3)$ 也成立。因此, (i) 的三個條件都成立。

現檢查 (ii) 的三句。先找 $C_1$ 為真的世界,再找 $(A_1∨A_2∨A_3)$ 也同時為真並最接近 @ 那個世界,發現是 @ ,進一步發現 $A_1$ 也為真,故 (ii-a) 成立。然而, (ii-b) 和 (ii-c) 都不成立。以前者為例,找 $C_2$ 為真的世界,發現兩個,最接近 @ 而 $(A_1∨A_2∨A_3)$ 同時為真的是左二的黑點(左至右第二個),在那世界為真的是 $A_1$ ,不是 $A_2$ ,所以 (ii-b) 不成立。同樣方法可發現 (ii-c) 也不成立。

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