解釋古典邏輯的條件句

Somewhere in Between 看到 Bryan W. Roberts 的文章 “Where the material conditional gets its truth conditions” ,解釋古典邏輯的條件句 ── 也就是質料條件句或實質條件句 (material conditional) ── 真值表為何是那樣。我覺得他(們)的解釋很聰明,想先介紹這個解釋,再談談我的意見。

問題背景是,很多學生初接觸邏輯都會對條件句真值表最底下兩行產生疑問:為甚麼「P」假時「若P則Q」便是真的?

Fig. 1

Bryan Roberts 的解釋原理上是刪去法:將有問題的真值表設定刪去,剩下的就是古典邏輯的條件句的真值表。他的解釋基於兩個假定。第一,「若P則Q」不是瑣碎的;第二,「若P則Q」不是對稱的,即是,不會所有「若P則Q」的語句都一律和「若Q則P」有相同真假。基於這兩個假定,原本的四個可能會被排除至只剩下古典邏輯的設定:

Fig. 2

P⊃Q(1) :假如這樣設定,條件句會是瑣碎的。因為「若P則Q」與「Q」等值,我們講條件句「若P則Q」便等於講「Q」,使得「若…則…」的講法變得瑣碎多餘,不如直接講後件。條件句不是這般瑣碎,例如「若民建聯議員再吃龜苓膏,則海天堂會繼續捐獻」便與「海天堂會繼續捐獻」有段距離,因此這設定有問題。

P⊃Q(2) :假如這樣設定,條件句會是對稱的。所有「若P則Q」的語句和「若Q則P」的語句都會有一樣的真假值,見 Fig. 3 。但並非所有條件句都如此,「若港視不獲發牌,則王維基傷心」和「若王維基傷心,則港視不獲發牌」便是兩回事。

P⊃Q(3) :同上,見 Fig. 4 。

Fig. 3Fig. 4

於是,只剩下古典邏輯的設定,即是 P⊃Q(4) 。

雖然我覺得 Bryan Roberts 的解釋十分聰明,想到利用條件句的特性排除非古典邏輯的設定,間接解釋古典邏輯的設定,可惜依然有兩個大問題。第一,如果考慮瑣碎和對稱以外的因素,恐怕連最後一個選項 ── 即古典邏輯的設定 ── 都要刪去,因為那個設定會產質料條件句的悖論,同樣會有不好的後果。如果瑣碎和對稱是放棄第一至第三個設定的理由,質料條件句的悖論便是放棄第四個設定的理由。所以,刪去法其實會連第四個設定都刪去。此外,學生的疑問原本是「為甚麼我們該用第四個設定」, Bryan Roberts 的解釋針對「為甚麼我們不該用前三個設定」,再以此間接回答學生的疑問。但是不用前三個設定,未必就該用第四個設定,因為還有多值、無值等選擇,所以,刪去法沒有真的刪去古典邏輯以外的所有設定。

我相信他的解釋有部分是成功的,成功之處在於,他論證:假定「P」和「Q」有而且只有真、假兩個值,古典邏輯以外的設定會出問題。他的解釋一般應該能滿足學生的好奇心,因為這個解釋乍聽之下甚有說服力。然而,我們應該分開兩個目的:一、產生心理上的說服力,讓學生接受古典邏輯的設定;二、找出道理上好理由,讓學生接受古典邏輯的設定。我挑剔的是後者:因為上述兩個問題, Bryan Roberts 的解釋無法真的在道理上支持古典邏輯的設定。連帶前者也會有問題,雖然一般來說那套解釋已足夠在心理上說服學生,但是如果有反應快的學生馬上想到其他問題,說服力便會驟減,在課堂上用 Byran Roberts 的解釋可能會令學生產生更多疑問。

之前提過數龜在 PTT 的解釋,他的策略正好相反,直接用例子回答「為甚麼我們該用第四個設定」。那當然也有可議之處,一來是因為仍然有古典邏輯難以解釋的例子,二來是因為古典邏輯不是唯一能解釋那三個例子的設定,所以同樣理由也會支持非古典邏輯的設定。但那策略確在道理上提供一點理由(雖不是十足、徹底的理由),讓我們發現古典邏輯的設定也有優點,可以解釋某幾類例子。

回到學生的問題。如果學生想問「我們有沒有一點道理上的理據選擇古典邏輯的設定」,我會用數龜的例子。如果學生想問「我們有沒有徹底的理據選擇古典邏輯的設定」,我說我不知道,因為這個問題實在太難答。

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