2014年1月7日

古典邏輯的真假值只有兩個,就是真 (truth) 和假 (falsity) 。多值邏輯顧名思義,就是真假值多於兩個的邏輯系統。真假值的數目有限多的叫做有限多值邏輯,無限多則叫做無限多值邏輯,三值邏輯便是其中一種有限多值邏輯。

研究邏輯的一個目的是要找出好的推論,這個「好」是甚麼意思,倒不容易說清楚。在古典邏輯,好推論的標準是邏輯蘊涵。邏輯蘊涵的推論能夠將前提某個特質傳遞到結論。在古典邏輯,這個特質是「真值」,因此古典邏輯的邏輯蘊涵又叫做真值保存 (truth preservation) :假如前提都是真的,前提所邏輯蘊涵的結論也必定是真的。想透過邏輯蘊涵,經由前提傳遞到結論的值,叫做指定值 (designated value) 。因此,我們又可以說古典邏輯的指定值是「真值」。在多值邏輯,指定值未必只限於真值,但往往不會包含假值。

我最近從 Graham Priest 的 An Introduction to Non-classial Logic (2nd, p. 127) 看到一個反對有限多值邏輯的論證。這個反多值邏輯論證,嚴格來說,反對的是符合兩個條件的多值邏輯。這兩個基本條件分別是:

(i). 如果 $A$ 是指定值,則 $A∨B$ 也是指定值。
(ii). 如果 $A$ 和 $B$ 的真假值一樣, $A≡B$ 會是指定值。

假如用「真值」來理解「指定值」,這兩個條件似乎十分合理。第一個條件說:如果「$A$」是真的,那麼「$A$ 或 $B$」也是真的。第二個條件說:如果「$A$」和「$B$」的真假值一樣,那麼「$A$ 若且唯若 $B$」便是真的。正如先前所說,多值邏輯的指定值未必限於真值,但往往不包括假值。第一個條件其實是說「$A$」邏輯蘊涵「$A$ 或 $B$」。第二個條件會有一個後果:如果 $A$ 和 $B$ 的真假值一樣, $A≡B$ 不會是假的(因為指定值不包括假值)。

假設有一套 n-值邏輯符合 (i) 和 (ii) 兩個條件, Priest 提到的論證要顯示這套 n-值邏輯有奇怪的後果,無論 n 是多少(譬如 3-值邏輯、 4-值邏輯、 5-值邏輯)。

第一步,考慮 n+1 個簡單語句,比如 $S_1, S_2, ..., S_n, S_{n+1}$ 。由於這套邏輯只有 n 個真假值,這堆語句之中至少有兩句會有一樣的真假值。假設擁有一樣真假值的語句是 $S_j$ 和 $S_k$ ,根據條件 (ii) , $S_j≡S_k$ 會是指定值(例如,會是真的)。從那堆簡單語句裡任取兩句,都可以組成一個「若且唯若」的句子,例如「$S_1≡S_2$」、「$S_1≡S_3$」、「$S_2≡S_3$」。將全部組合列出

$S_j≡S_k$
$S_1≡S_2$
$S_1≡S_3$
$S_2≡S_3$

再做選言,會出現很長的複合語句

$(S_j≡S_k)∨(S_1≡S_2)∨(S_1≡S_3)∨(S_2≡S_3)∨...$

根據條件 (i) ,這個很長的複合句也是指定值(例如,是真的)。

可是這個結果與常識有衝突。試考慮「小蕭有 1 條頭髮」、「小蕭有 2 條頭髮」…「小蕭有 n 條頭髮」、「小蕭有 n+1 條頭髮」等總共 n+1 個語句。將這些組合列出

小蕭有 j 條頭髮,若且唯若,小蕭有 k 條頭髮
小蕭有 1 條頭髮,若且唯若,小蕭有 2 條頭髮
小蕭有 1 條頭髮,若且唯若,小蕭有 3 條頭髮
小蕭有 2 條頭髮,若且唯若,小蕭有 3 條頭髮

顯然,沒有人可以同時有 $j$ 條頭髮又有 $k$ 條頭髮(已知 $j≠k$),所以每個「若且唯若」的句子都是假的,不會是指定值。這些組合的選言

(小蕭有 j 條頭髮,若且唯若,小蕭有 k 條頭髮)
∨(小蕭有 1 條頭髮,若且唯若,小蕭有 2 條頭髮)
∨(小蕭有 1 條頭髮,若且唯若,小蕭有 3 條頭髮)
∨(小蕭有 2 條頭髮,若且唯若,小蕭有 3 條頭髮)
∨......

也是假的,不會是指定值。符合 (i) 和 (ii) 的 n-值邏輯斷言它不是假的,違反常識,因此是錯的。相似的論證可以用在所有符合 (i) 和 (ii) 的 n-值邏輯,所以,所有符合 (i) 和 (ii) 的 n-值邏輯都是錯的。

6 comments:

  1. 令「小蕭有 1 條頭髮」(A)為假且令「小蕭有 2 條頭髮」(B)為假,此時直覺上「小蕭有 1 條頭髮,若且唯若,小蕭有 2 條頭髮」(A≡B)為假(而非指定值--真),似乎傳統的二值邏輯(n=2)就不使用條件 (ii) 了......

    那麼,世界上有哪種多值邏輯系統採用了前提 (ii) 呢?G君的理論實質上反對了哪些實存的多值邏輯系統呢?

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  2. 二值邏輯不是多值邏輯,我有寫「多值邏輯顧名思義,就是真假值多於兩個的邏輯系統」。事實上最有名的四套三值邏輯(K3, Ł3, LP, RM3)都會符合條件(ii),這四套裡反而只有三套符合條件(i)。Graham Priest未必同意這個反對,LP就是他在1979年提出的系統,LP和RM3是超一致邏輯(paraconsistent),他現在還很努力在推廣超一致邏輯。

    btw, 在古典邏輯,如果 $A$ 和 $B$ 都為假,那麼 $A≡B$ 會為真,所以古典邏輯其實也符合(ii),雖然直覺上「小蕭有 1 條頭髮,若且唯若,小蕭有 2 條頭髮」該是假的。

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  3. 因為 Joe 描述 G君的論證是「反n-值邏輯論證」,而不是「反多值邏輯論證」,也沒提到 n>=3,所以我以為n-值邏輯也包括二值邏輯XD

    不過根據G君的論證,如果我們認為違反『「小蕭有 1 條頭髮」為假且「小蕭有 2 條頭髮」為假則「小蕭有 1 條頭髮,若且唯若,小蕭有 2 條頭髮」為真』的常識是不可接受的,我們便須拒絕古典邏輯系統及那些符合(i)(ii)的多值邏輯系統。

    如果我們接受古典邏輯系統卻拒絕那些符合(i)(ii)的多值邏輯系統,除非有新的論證,否則似乎是不一致的呢!

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  4. 我第一段有說多值邏輯多於兩個值,第三段有寫是針對多值邏輯。

    //如果我們接受古典邏輯系統卻拒絕那些符合(i)(ii)的多值邏輯系統,除非有新的論證,否則似乎是不一致的呢!//
    完全同意,那個論證有波及古典邏輯。

    反正你提到也就補個註(沒興趣的話就略過吧):「多值邏輯」(many valued logic)屬於非古典邏輯,通常被界定為真假值多於兩個的邏輯系統,也就不包含古典邏輯的邏輯系統(見 SEP, wiki)。 Graham Priest 卻下了一個不一樣的定義,根據他的定義,多值邏輯的值是 $≥1$ (7.2.1, p.121),因此可以包括古典邏輯,而古典邏輯只是多值邏輯的特例。那個定義甚至廣到包括單值邏輯 ($n=1$),只是我覺得把 1-值邏輯和 2-值邏輯也歸做多值邏輯很奇怪,一來違反常見界定,二來配不上「多值」這個稱呼,所以遵循最常見的界定,用 $>2$ 來理解多值邏輯。不過,那個論證確實可以攻擊 $n≥1$ 又符合 (i) 和 (ii) 的所有邏輯系統。

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  5. 我想問一下,有系統是單值的嗎?若是的話,那還有所謂的designated value要保留下去嗎?不就是所有句子都有那個designated value?單值系統還有甚麼意義?

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  6. 有單值邏輯,不過我沒有研究過,有空再看看

    http://www.jstor.org/discover/10.2307/2218364?uid=3738176&uid=2&uid=4&sid=21104563209033

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