2014年2月28日

via Vecteezy, Ferraris Horse Vector
前幾日有朋友問,以下這個論證要怎樣翻譯成述詞邏輯的論證。

1. 所有馬都是動物
───────────────────────────
因此, 2. 所有馬的頭都是動物的頭

他問的論證其實是由 Augustus De Morgan 在 19 世紀提出。 De Morgan 要指出,當時堪稱最好的邏輯系統 ── 三段論 ── 其實有一堆例子無法處理。見於 Hart (2010, pp. 94-95).另一個關係密切的論證是:

3. 所有圓形都是圖形
───────────────────────────
因此, 4. 任何畫了圓形的東西都畫了圖形

直覺上,這兩個論證都是有效的 (valid,不可能前提真而結論假) 。前提很容易翻譯成述詞邏輯的合規式 (wff) ,難就難在結論。

* * *

由第一個論證開始。前提「所有馬都是動物」譯成述詞邏輯的合規式是:

1. ∀x(Ax→Bx)
1. 所有 x ,如果 x 是馬,則 x 是動物
[ Ax: x 是馬, Bx: x 是動物 ]

可是,假如把結論譯成

∀x(Cx→Dx)
所有 x ,如果 x 是馬的頭,則 x 是動物的頭
[ Cx: x 是馬的頭, Dx: x 是動物的頭 ]

整個論證便不是有效的。證明「∀x(Ax→Bx) /∴ ∀x(Cx→Dx)」不是有效論證,只需一個反例:設論域 D=\{a\}, \sc I(Ax)=\sc I(Bx)=\sc I(Cx)=\{a\}, \sc I(Dx)=\{ \}。究其因由,是結論無法利用前提的兩個述詞 Ax 和 Bx 。正確譯法應該是也可譯成: ∀x∀y[((Ax∧Hyx)∧Bx)→Hyx]

2. ∀x∀y[(Ax∧Hyx)→(Bx∧Hyx)]
2. 所有 x ,所有 y ,如果 ( x 馬而且 y 是 x 的頭) ,則 ( x 是動物,而且 y 是 x 的頭)
[ Ax: x 是馬, Bx: x 是動物, Hyx: y 是 x 的頭 ]

關鍵在於 Hyx 這個關係述詞 (relational predicate) 。先前用的 Ax, Bx, Cx, Dx 都不是關係述詞,只包含一個個體變元。關係述詞包含兩個或以上的個體變元 (individual variable) 或個體常元 (individual constant),例如 Hxy, Ixyz, Jabxy 。這樣翻譯結論,既可保留前提用到的述詞 Ax 和 Bx ,亦可利用關係述詞連結「馬」和「馬的頭」(「 x 是馬」和「 y 是 x 的頭」),以及「動物」和「動物的頭」(「 x 是動物」和「 y 是 x 的頭」)。


第二個論證的前提同樣十分易譯:

3. ∀x(Ex→Fx)
3. 所有 x ,如果 x 是圓形,則 x 是圖形
[ Ex: x 是圓形, Fx: x 是圖形 ]

麻煩的地方在結論。恰當譯出結論要用到關係述詞和存在量詞「∃」。

4. 任何畫了圓形的東西都畫了圖形
4. 對於任何一個東西,如果他畫了圓形,則他畫了圖形
4. 對於任何一個 x ,如果 x 畫了個圓形,則 x 畫了個圖形
4. ∀x [如果 x 畫了個圓形,則 x 畫了個圖形]
4. ∀x [( x 畫了個圓形) → (x 畫了個圖形)]
4. ∀x [(有個圓形 y , x 畫了 y ) → (有個圖形 z , x 畫了 z )]
4. ∀x [(有個 y , y 是圓形而且 x 畫了 y ) → (有個 z , z 是圖形而且 x 畫了 z )]
4. ∀x[(∃y)(Ey∧Gxy)→(∃z)(Fz∧Gxz)]
[ Ex: x 是圓形, Fx: x 是圖形, Gxy: x 畫了 y ]

注意結論和前一個論證一樣,必須使用關係述詞。假如將結論「任何畫了圓形的東西都畫了圖形」譯成「∀x(Kx→Lx)」,會變成無效論證。理由同第二個註。

* * *

總結一下,那兩個論證譯成述詞邏輯,分別會寫成:

∀x(Ax→Bx)
──────────────────
/ ∴ ∀x∀y[(Ax∧Hyx)→(Bx∧Hyx)]


∀x(Ex→Fx)
──────────────────
/ ∴ ∀x[(∃y)(Ey∧Gxy)→(∃z)(Fz∧Gxz)]

可用 Logic Machine 檢查。



參考文獻
Hart, W. D. (2010). The Evolution of Logic. Cambridge University Press.

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