〈關於無知〉

PTT 西哲板有一篇文章標題是「[歐陸] 關於無知」,主動談哥德爾不完備定理與說謊者悖論的關係,我看了之後如鯁在喉,除了因為裡面對許多對悖論的描述都在踩界邊緣,它形容不完備定理與悖論的關係更是誤導。

那篇文章強調說謊者悖論和哥德爾不完備定理都有自我指涉的成分,並宣稱:
而當人們還在糾結於如何處理悖論的時候,大家都知道但是幾乎大家都不知道的「哥德爾不完備定理」出現了!!

它宣告徹底解決悖論是不可能的事情。
第一,哥德爾不完備定理針對的是形式系統,而且是符合某些條件的形式系統,但說謊者悖論是在日常語言出現的難題,到底一個針對形式系統的定理對日常語言有何影響,這絕對不是兩三句話可以輕易帶過的。

第二,不講自然語言,講形式系統。 Saul Kripke 在 1975 的文章 “Outline of a Theory of Truth” 證明有些形式系統裡面的語句雖然自我指涉,但卻不會出現說謊者悖論。 Kripke 的文章在真理論(theory of truth)非常有名,稍為涉足悖論都會聽過。一來, Kripke 證明的系統是三值系統,在「真」和「假」以外尚有「非真非假」,為非古典邏輯殺出一條血路;二來, Kripke 承認三值系統無法避免強化型說謊者(strengthened liar),引申出一個問題:多值系統都無法解決強化型說謊者、強強化型說謊者、強強強化型說謊者、強強強強化型說謊者……。不過,這些都跟哥德爾不完備定理扯不上關係。

第三,沒錯,自我指涉是某些悖論的重要特徵,但卻未必是所有悖論都有的特徵。亞布羅(Stephen Yablo)在 1993 年提出亞布羅悖論(Yablo’s Paradox),將無限多語句排成一序列,每個語句都指涉自己以後的語句,最終產生悖論。在學界頗有公信力的 SEP 將這列為說謊者悖論的其中一種形態,但就算亞布羅悖論不是說謊者悖論,就算亞布羅悖論有沒有自我指涉仍有爭議,至少亞布羅悖論證明悖論不明顯都有自我指涉成分。

第四,就我所知,哥德爾不完備定理確實與悖論有所牽連,但我所知的連繫與那篇文章所說的卻是兩回事。解決悖論的方法不盡相同,羅素提出過一個相當直接的方案:禁止自我指涉。「禁止自我指涉」是將有自我指涉的語句當成不合文法、沒有真假、或者沒有意義。相信不少人初次看到說謊者悖論都出現過這個念頭。然而,一方面,亞布羅悖論顯示這個方案未必能「盡殲」悖論,因為亞布羅悖論不明顯含有自我指涉成分。另一方面,這個方案會過度屠殺(overkill)。一來有不少自我指涉的句子有真假又有意義(例如,『本文唯一用中式雙開引號括起來的句子是中文』),二來哥德爾證明不完備定理的過程也用到自我指涉的句子。禁止自我指涉會「屠殺」沒有問題的句子,更會波及公認有效且重要的數學證明。(見王文方,《形上學》,頁197-200)換句話說,我所知的連繫是:不完備定理是反駁其中一個解悖方案的其中一個理由。這個連繫與那篇文章所講的關連有天壤之别。

第五,解決悖論有幾個著名的策略:一,將導致悖論的語句視為沒有意義;二,放棄二值原則,主張導致悖論的語句沒有真假值;三,放棄(非)矛盾原則,接受導致悖論的語句既真且假;四,區分對象語言和後設語言。現時這些策略都要面對一些麻煩的問題,但肯定不是因為哥德爾證明不完備定理就宣告全滅。

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