古典語句邏輯的「語意後果」和「語法後果」

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形式邏輯是人工語言。與自然語言一樣,形式邏輯規定哪些記號是合規式(wff, 合乎文法規則的記號),哪些不是。合規式有語意和語法兩個面向。在古典語句邏輯裡,只有語句是合規式,這些合規式的語意就是與真假值相關的部分,而語法則是合規式非語意的部分。這個定義參考 Hunter (1971, p. 9) 。

古典語句邏輯的文法規則特別簡單,只有四條
  1. 所有簡單語句 $P_1, P_2, P_3, ..., P_n$ 都是合規式(為方便, $P, Q, R, ... Z$ 都當成合規式)
  2. 如果 $ϕ$ 是合規式,則 $(∼ϕ)$ 也是合規式
  3. 如果 $ϕ$ 和 $ψ$ 是合規式,則 $(ϕ∧ψ)$ 、 $(ϕ∨ψ)$ 、 $(ϕ→ψ)$ 、 $(ϕ↔ψ)$ 也是合規式
  4. 只有符合 (I) - (III) 的記號才是合規式
古典語句邏輯利用詮釋(interpretation)來界定合規式的語意。但這「詮釋」並不是日常的意思,而是函數(function),負責將真假值分派給語句。古典語句邏輯的每一個詮釋都必須符合兩點:
  1. 派真值或假值給每個簡單語句(但不會派兩個值給同一個簡單語句)
  2. 派給複合語句的值完全取決於主要連詞及其組成成分的值:
    1. 派真值給 $(∼ϕ)$ ,若且唯若,派假值給 $ϕ$
    2. 派真值給 $(ϕ∧ψ)$ ,若且唯若,派真值給 $ϕ$ 並且派真值給 $ψ$
    3. 派真值給 $(ϕ∨ψ)$ ,若且唯若,派真值給 $ϕ$ 或者派真值給 $ψ$
    4. 派真值給 $(ϕ→ψ)$ ,若且唯若,派假值給 $ϕ$ 或者派真值給 $ψ$
    5. 派真值給 $(ϕ↔ψ)$ ,若且唯若,派給 $ϕ$ 的值和派給 $ψ$ 的值一樣
換個嚴謹點的方式表達。令 $\upsilon$ 為任意一個古典語句邏輯的詮釋,
  1. 對於每個簡單語句 $φ$ , $\upsilon(φ)=\text{T}$ 或 $\upsilon(φ)=\text{F}$ (但不會同時 $\upsilon(φ)=\text{T}$ 且 $\upsilon(φ)=\text{F}$ )
    1. 對於每個語句 $(∼ϕ)$ ,$\upsilon(∼ϕ)=\text{T}$ 若且唯若,$\upsilon(ϕ)=F$
    2. 對於每個語句 $(ϕ∧ψ)$ , $\upsilon(ϕ∧ψ)=\text{T}$ ,若且唯若, $\upsilon(ϕ)=\upsilon(ψ)=\text{T}$
    3. 對於每個語句 $(ϕ∨ψ)$ , $\upsilon(ϕ∨ψ)=\text{T}$ ,若且唯若, $\upsilon(ϕ)=\text{T}$ 或 $\upsilon(ψ)=\text{T}$
    4. 對於每個語句 $(ϕ→ψ)$ , $\upsilon(ϕ→ψ)=\text{T}$ ,若且唯若, $\upsilon(ϕ)=\text{F}$ 或 $\upsilon(ψ)=\text{T}$
    5. 對於每個語句 $(ϕ↔ψ)$ , $\upsilon(ϕ↔ψ)=\text{T}$ ,若且唯若, $\upsilon(ϕ)=\upsilon(ψ)$
以 $(P∧Q)$ 來說,它的真假值完全由 $P$ 的值、 $Q$ 的值,以及連詞 $∧$ 決定。派真值給 $P$ 和 $Q$ 的詮釋,也會派真值給 $(P∧Q)$ ;派假值給 $P$ 和 $Q$ 的詮釋,會派假值給 $(P∧Q)$ ;派一真一假給 $P$ 和 $Q$ 的詮釋,同樣會派假值給 $(P∧Q)$ 。

負責分派真假值的詮釋非常多。古典語句邏輯的合規式數目是 $א$ ,因此詮釋的數目是 $2^א$ 。

有些語句是偶真句,不是必然真,也不是必然假。 $(P∧Q)$ 便是偶真句的例子,一些詮釋派真值給它,一些詮釋派假值給它。有些語句是必真句,所有詮釋都會派真值給它,例如 $(P→P)$ 。相反,有些語句是必假句,所有詮釋都派假值給它,如 $(P∧∼P)$ 。

語句之間的真假值可能彼此牽連。比如,派真值給 $(P∧Q)$ 的詮釋都會派真值給 $P$ 。但派真值給 $P$ 的詮釋,卻不是全都派真值給 $(P∧Q)$ 。假使我們將任意數目的語句放在 $\Gamma$ 裡面,再另外考慮一個語句 $\theta$ 。我們便可定義「語意後果」(semantic consequence):

$\Gamma ⊨ \theta$ ($\theta$ 是 $\Gamma$ 的語意後果/ $\Gamma$ 語意蘊涵 $\theta$)
$=_{df}$ 每個分派真值給 $\Gamma$ 所有成員的詮釋都分派真值給 $\theta$
$=_{df}$ 沒有詮釋既分派真值給 $\Gamma$ 所有成員,又分派假值給 $\theta$

以 $(P∧Q)$ 和 $P$ 為例,當 $\Gamma$ 的成員就是 $(P∧Q)$ ,而 $\theta$ 是 $P$ ,這便符合語意後果的定義,因此

$\{P∧Q\} ⊨ P$

但反過來就不成立

$\{P\} ⊭ (P∧Q)$

因為有詮釋分派真值給 $P$ ,卻派假值給 $(P∧Q)$ (派假值給 $Q$ )。

比較特殊的是 $\Gamma$ 沒有任何成員的成況,即是, $\Gamma$ 是空集合的情況。無論是不是空集合,詮釋分派真假值給集合成員的情況只有兩種
  1. 所有集合裡面的合規式都分派到真值
  2. 至少有一個合規式在集合裡面,但沒有分派到真值
當 $\Gamma$ 是空集合,第二種情況不可能出現(因為 $\Gamma$ 裡面沒有合規式,自然沒有合規式既在 $\Gamma$ 裡面又沒有分派到真值),所以自動歸入第一種。因此,假如 $\Gamma$ 是空集合,而

$\Gamma ⊨ \theta$

又成立,那便代表所有詮釋都分派真值給 $\theta$ 。換句話說,  $\theta$  是套套邏輯(tautology,古典語句邏輯的必真句)。不少邏輯書例如 Bostock (1997, pp. 11-12) 。會寫成

$⊨ \theta$(即 $\varnothing ⊨ \theta$)

我們為甚麼關心語句之間的真假值關係?最簡單的答案是:我們關心推論。我們經常做推論,經常使用一些語句作為前提,推導特定的結論,因此也關心推論的前提假如都為真,結論會否一併為真。試考慮一個簡化過的例子

論證A
1. 政猿不是在撞選民,就是在盗圖
2. 政猿沒有在撞選民
─────────────────────────────
因此,3. 政猿在盗圖

在語句邏輯,這推論可以表達成

論證B
1. $P∨Q$
2. $∼P$
─────────────────────────────
/ ∴ 3. $Q$ (DS, 1,2)

由於派真值給全部前提的詮釋都派真值給結論, $Q$ 是 $(P∨Q)$ 和 $∼P$ 的語意後果。換言之,

$\{P∨Q, ∼P\} ⊨ Q$

與「語意後果」相映照的概念是「語法後果」(syntactic consequence)。在語意方向,語句邏輯的詮釋分派真假值給語句。在語法方面,語句邏輯除了有規定哪些是合規式的文法,還有證明系統(proof-system,推論系統、推導系統)。證明系統故名思意就是針對推論的系統。古典語句邏輯有許多證明系統,當中最為常見的四個類型分別是自然演繹證明法(natural deduction proofs)、樹枝證明法(tree/tableau proofs)、公理證明法(axiomatic proofs),以及序列證明法(sequent proofs)。論證 B 便是自然演繹法的例子。然而,即使屬同一類證明法,各邏輯書採用的寫法也未必一樣,這四類不過是大體上的分類。

若不區分證明系統,用最粗略的講法,「語法後果」的定義是

$\Gamma ⊢ \theta$ ($\theta$ 是 $\Gamma$ 的語法後果/ $\Gamma$ 語法蘊涵 $\theta$)
$=_{df}$ $\Gamma$ 可推導出 $\theta$

到底怎樣才算是「 $\Gamma$ 可推導出 $\theta$」,四類系統的定義都不一樣。常見的界定大致上是:

自然演繹證明法
$\Gamma ⊢ \theta$
$=_{df}$ 有一個合規式串,其最後一個合規式是 $\theta$ ,而這個串的每個合規式都是 (i) $\Gamma$ 的成員,或 (ii) 由先前合規式透過推導規則得來的。

樹枝證明法
$\Gamma ⊢ \theta$
$=_{df}$ 有一個完整而閉合的樹枝圖,其初始列(僅)包含 $\Gamma$ 的所有成員和 $∼\theta$ 。見於 Priest (2008, p. 8) 。

公理證明法
$\Gamma ⊢ \theta$
$=_{df}$ 有一個合規式串,其最後一個合規式是 $\theta$ ,而這個串的每個合規式都是 (i) 公理,或 (ii) $\Gamma$ 的成員,或 (iii) 由先前合規式透過推導規則得來的。見於 Hunter (1971, pp. 74-75) 。

序列證明法
$\Gamma ⊢ \theta$
$=_{df}$ 有一個序列串,其最後一個序列是 $\Gamma ⇒ \theta$ ,而它裡面個序列都是 (i) $φ⇒φ$ 或 (ii) 由先前序列透過推導規則得來的。見於 Sider (2010,§2.5.3, pp. 42-43) 。

四類系統都提到「推導規則」,但四類系統的推導規則都不一樣。

自然演繹證明法沒有公理,推導規則較多,一般有二十條左右。所有證明法裡面,以自然演繹法最貼近人類思考的模式:列出前提,再透過各式各樣的規則逐步推導結論。

樹枝證明法同樣沒有公理,推導規則一般比自然演繹法還要少幾條。樹枝證明法以樹枝發散的圖像呈現推論,最終能將合規式拆至簡單語句或簡單語句的否定句,保證規則用完必能判斷前提能否推導結論。(但古典語句邏輯以外的系統未必有此保證,比如古典述詞邏輯和模態邏輯便可能出現無限樹枝圖(infinite tableaux),永遠不能將規則用完。)

公理證明法通常有三個公理(axioms)和一條推導規則肯定前項(modus ponens)。由於規則較少,許多時候證明後設定理都比較省時,有些邏輯書因而選用公理證明法教後設證明。

序列證明法裡面最小的單位是序列,而每個序列都代表一個推論。序列證明法的推導規則是由一個序列(推論)推導另一個序列(推論)的規則。

論證 B 符合自然演繹法的語法後果的定義,又可寫成

$\{P∨Q, ∼P\} ⊢ Q$

可是,這不代表我們任意將合規式排列,都會是古典語句邏輯證明系統的推論。證明系統的推論除了排列合規式,還要符合證明法裡面的條件。例如論證 C 就不符合條件。

論證C
1. $P∨Q$
2. $P$
─────────────────────────────
/ ∴ 3. $Q$ 

它想寫成自然演繹法,但 3 既不是前提($\Gamma$ 的成員),也無法透過自然演繹法的推導推論從先前的合規式(即 1, 2)得來。

證明論證 C 的結論不是前提的語意後果一點也不吃力,只要檢查有沒有詮釋能派真值給 $(P∨Q)$ 和 $P$ ,同時派假值給 $Q$ 。但要怎樣證明論證 C 的結論不是前提的語法後果?要證明這點必須證明前提不可推導出結論。但在某些證明系統這是十分難做到的。例如,要證明某些前提不能在自然演繹法裡推導結論,就要證明所有合規式串(所有自然演繹推論)都不符合上述的條件。但我們不可能寫出所有合規式串,再逐個檢查。(就算有無限生命無限體力無限墨水我也不要做這種蠢事。)讀過基礎邏輯的人應該知道,要證明論證 C 的前提無法推導出結論,只需要證明論證 C 的前提沒有語意蘊涵結論。因為古典語句邏輯有一條定理保證

如果 $\Gamma ⊢ \theta$, 則 $\Gamma ⊨ \theta$

換言之,證明 $\Gamma ⊭ \theta$ 就證明 $\Gamma ⊬ \theta$ 。這條定理叫做妥當性定理(soundness theorem)。與之相對的是完備性定理(completeness theorem,或語意完備性定理)

如果 $\Gamma ⊨ \theta$ , 則 $\Gamma ⊢ \theta$

有時候我們很難用規則由前提逐條推導到結論,但卻可輕易證明所有派真值給前提的詮釋都派真值給結論。有完備性定理,只要證明 $\theta$ 是 $\Gamma$ 的語意後果,即使未想怎樣用規則從前提推導結論,也已證明 $\Gamma$ 可推導 $\theta$ 。語意完備性不同於語法完備性。參見 Hunter (1971, p. 113, 116) 。此處所寫的兩個定理分別又叫「強妥當性定理」(strong soundness theorem)和「強完備性定理」(strong completeness theorem) 。另有「弱妥當性定理」(weak soundness theorem)和「弱完備性定理」(weak completeness theorem),分別是


弱妥當性定理:如果 $⊢ \theta$, 則 $⊨ \theta$
弱完備性定理:如果 $⊨ \theta$ , 則 $⊢ \theta$

弱版是強版的特列,是強版的 $\Gamma$ 為空集的情況。




參考文獻
Bostock, David (1997). Intermediate Logic. Oxford University Press.
Hunter, Geoffrey (1971). Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First Order Logic. Berkeley,University of California Press.
Graham Priest (2008). An Introduction to Non-Classical Logic: From If to Is. Cambridge University Press.
Sider, Theodore (2010). Logic for Philosophy. Oxford University Press.

24 則留言:

  1. 「古典語句邏輯的每一個詮釋都必須符合兩點……」那兩點有沒有特定的名稱?

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    1. 印象中沒有,第一點 A 是分派給 atomic sentence 真假值,第二點 B 分派給 compound sentence 真假值,裡面用到 recursion ,在邏輯裡挺常見,但似乎沒有特別命名

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  2. 「 Γ⊨θ (θ 是 Γ 的語意後果/ Γ 語意蘊涵 θ)
    =df 每個分派真值給 Γ 所有成員的詮釋都分派真值給 θ
    =df 沒有詮釋既分派真值給 Γ 所有成員,又分派假值給 θ 」

    這段話的意思是否等同於

    當「每個分派真值給 Γ 所有成員的詮釋都分派真值給 θ」為真 或
    當「沒有詮釋既分派真值給 Γ 所有成員,又分派假值給 θ 」為真時,

    「 Γ⊨θ 」為真?

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    1. 是。

      「每個分派真值給 Γ 所有成員的詮釋都分派真值給 θ」和「沒有詮釋既分派真值給 Γ 所有成員,又分派假值給 θ」都是「Γ⊨θ」的定義,三者的意思一樣。

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  3. 既然「沒有詮釋既分派真值給 Γ 所有成員,又分派假值給 θ」都是「Γ⊨θ」的定義,那麼,

    (1) 當每個分派假值給Γ所有成員的詮釋,都分派真值給θ時,「Γ⊨θ」是否為真 ?

    (2) 當每個分派假值給Γ所有成員的詮釋,都分派假值給θ時,「Γ⊨θ」是否為真 ?

    (P.S. 抱歉,由於再三出錯,加上斟酌用字,最後決定刪除上面三則留言。令你看得眼花燎亂,請見諒。)

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    1. (1), (2) 都不足以判斷「Γ⊨θ」是否為真,因為要下判斷需要知道的是,有沒有詮釋同時分派真值給 Γ 的所有成員,同時又分派假值給 θ ,不用考慮分派假值給 Γ 所有成員的詮釋。

      情況就像,有人說「沒有人類既是富有,又是善良」(當作 A)。你則是問
      (1) 當不富有的人類都是善良, A 是否為真?
      (2) 當不富有的人類都不善良, A 是否為真?
      答案是無法判斷,因為仍不知道會否有人類既富有又善良。

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    2. 感謝你的指正。我其實是想問:當任何詮釋都只會派假值給Γ的時候,可否稱Γ⊨θ為真。卻因用詞不當,變成問:當詮釋派假值給Γ時,Γ⊨θ是否為真。現在我已清楚,當任何詮釋都只會派假值給Γ的時候,因為不會出現Γ為真但θ為假的情,故可稱Γ⊨θ為真。

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  4. 另一疑問:
    為方便討論,暫且稱「派真值給Γ所有成員的詮釋,都派真值給θ」為定義(a),稱「不存在詮釋派真值給Γ所有成員,又派假值給θ」為定義(b)。
    根據定義(a),(p^~p)⊨q是不能被判定為真的,因為定義(a) 除了要求q為真外,亦要求(p^~p)為真,才能判定(p^~p)⊨q為真。但在(p^~p)⊨q裏,即使q為真,(p^~p)卻必然為假,不符合定義(a),故不可依定義(a)判定(p^~p)⊨q為真。
    根據定義(b),(p^~p)⊨q是真的,因為定義(b)要求不可出現(p^~p)為真且q為假的情況,而由於(p^~p)必然為假,無論q的真假值為何,都必然不會出現(p^~p)為真且q為假的情況,與定義(b)相符,故定義(b)可判定(p^~p)⊨q為真。
    依上面這個例子看來,定義(b)已足夠作為Γ⊨θ的定義,不需要定義(a)亦可。對否?

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    1. //根據定義(a),(p^~p)⊨q是不能被判定為真的,因為定義(a) 除了要求q為真外,亦要求(p^~p)為真,才能判定(p^~p)⊨q為真。但在(p^~p)⊨q裏,即使q為真,(p^~p)卻必然為假,不符合定義(a),故不可依定義(a)判定(p^~p)⊨q為真。//

      不是。定義 (a) 其實是「對於所有詮釋 I ,如果 I 派真值給 Γ 所有成員,則 I 派真值給 θ 」,這句話就等值於定義 (b) 「不存在一個詮釋 I ,它派真值給 Γ 所有成員卻不派真值給 θ 」。 (比較∀x(Px→Qx) 和 ∼∃x(Px∧∼Qx) )

      刪除
    2. 明白。換句話說,我把∀x(Px→Qx)誤解為∀x(Px^Qx)。

      刪除
  5. 近來鑽研自然演釋法,有些問題想請教一下。

    先交代一下問題的背景資料:正如你所說,同一種證明方法,不同的作者有不同的寫法。從我在網上找到的資料中來看,自然演釋法可大概分為兩種。第一種推論規則較少,只有十一條,有關的規則分為引入規則(Introduction Rules)及消除規則(Elimination Rules)兩大類,暫且稱為樸素版。另一種推論規則較多,有十八條,有關的規則分為等值規則(Equivalence Rules)和蘊涵規則(Implication Rules)兩大類,暫且稱為進階版。進階版裏的等值規等則有部分是樸素版的引入規則。

    問題1:兩種自然演釋法都容許假設某些Atomic Sentence及Compound Sentence 為真,來幫助推論。但這種假設方法是否有限制? 例如最起碼不容許假設作為結論的θ為真,否則用不著證明了吧? 如有,其內容為何?

    問題2:有點複雜,詳情如下:
    我在網上看見有人以以下的方法(http://www.danielclemente.com/logica/dn.en-node39.html),透過樸素版的自然演釋法,去證明( ( P v Q ) ^ ¬ P ) Ⱶ Q :
    1 P ∨ Q
    2 ¬P
    3 P H
    4 ¬Q H
    5 ¬P IT 2
    6 P IT 3
    7 ¬¬Q I¬ 4,5,6
    8 Q E¬ 7
    9 Q H
    10 Q IT 9
    11 Q E∨ 1,8,10

    其中關鍵是第4行至第7行,當中所使用的, 是否定號(Negation,¬)的引入規則。我懷疑這種使用方法有問題,因為模仿這種方法,你在上文中名為C的論證,即( ( P v Q ) ^ P ) Ⱶ Q,也可以得證如下:

    1 P ∨ Q
    2 P
    3 ¬P H
    4 ¬Q H
    5 P IT 2
    6 ¬ P IT 3
    7 ¬¬Q I¬ 4,5,6
    8 Q E¬ 7

    我認為這結果是荒謬的,因為模仿這個方法,要證明甚麼為真也幾乎可以:只要先假設結論θ為假,然後在演釋中假設和某個前題矛盾節假設,即可得證。那麼,還要其他規則作甚?於是,我的問題是:是否我對否定號的引入規則有誤解? 若是,錯在哪裏? 若非,問題出在哪裏?

    問題3:樹枝證明法及序列證明法在推理時都有具體條件,讓推理停下來,繼而判斷結論θ是否前題Г的語法後果。例如在樹枝證明法裏,只要檢視所有分枝(Branches)封閉與否,即可判斷結論θ是否前題Г的語法後果。但自然演釋法似乎不具備這個條件,這種理解是否正確? 若非,哪這個條件為何?

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  6. 近來鑽研自然演釋法,有些問題想請教一下。

    先交代一下問題的背景資料:正如你所說,同一種證明方法,不同的作者有不同的寫法。從我在網上找到的資料中來看,自然演釋法可大概分為兩種。第一種推論規則較少,只有十一條,有關的規則分為引入規則(Introduction Rules)及消除規則(Elimination Rules)兩大類,暫且稱為樸素版。另一種推論規則較多,有十八條,有關的規則分為等值規則(Equivalence Rules)和蘊涵規則(Implication Rules)兩大類,暫且稱為進階版。進階版裏的等值規等則有部分是樸素版的引入規則。

    問題1:兩種自然演釋法都容許假設某些Atomic Sentence及Compound Sentence 為真,來幫助推論。但這種假設方法是否有限制? 例如最起碼不容許假設作為結論的θ為真,否則用不著證明了吧? 如有,其內容為何?

    問題2:有點複雜,詳情如下:
    我在網上看見有人以以下的方法(http://www.danielclemente.com/logica/dn.en-node39.html),透過樸素版的自然演釋法,去證明( ( P v Q ) ^ ¬ P ) Ⱶ Q :

    1 P ∨ Q
    2 ¬P
    3 P H
    4 ¬Q H
    5 ¬P IT 2
    6 P IT 3
    7 ¬¬Q I¬ 4,5,6
    8 Q E¬ 7
    9 Q H
    10 Q IT 9
    11 Q E∨ 1,8,10
    其中關鍵是第4行至第7行,當中所使用的, 是否定號(Negation,¬)的引入規則。我懷疑這種使用方法有問題,因為模仿這種方法,你在上文中名為C的論證,即( ( P v Q ) ^ P ) Ⱶ Q,也可以得證如下:

    1 P ∨ Q
    2 P
    3 ¬P H
    4 ¬Q H
    5 P IT 2
    6 ¬ P IT 3
    7 ¬¬Q I¬ 4,5,6
    8 Q E¬ 7

    我認為這結果是荒謬的,因為模仿這個方法,要證明甚麼為真也幾乎可以:只要先假設結論θ為假,然後在演釋中假設和某個前題矛盾節假設,即可得證。那麼,還要其他規則作甚?於是,我的問題是:是否我對否定號的引入規則有誤解? 若是,錯在哪裏? 若非,問題出在哪裏?

    問題3:樹枝證明法及序列證明法在推理時都有具體條件,讓推理停下來,繼而判斷結論θ是否前題Г的語法後果。例如在樹枝證明法裏,只要檢視所有分枝(Branches)封閉與否,即可判斷結論θ是否前題Г的語法後果。但自然演釋法似乎不具備這個條件,這種理解是否正確? 若非,哪這個條件為何?

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  7. 近來鑽研自然演釋法,有些問題想請教一下。

    先交代一下問題的背景資料:正如你所說,同一種證明方法,不同的作者有不同的寫法。從我在網上找到的資料中來看,自然演釋法可大概分為兩種。第一種推論規則較少,只有十一條,有關的規則分為引入規則(Introduction Rules)及消除規則(Elimination Rules)兩大類,暫且稱為樸素版。另一種推論規則較多,有十八條,有關的規則分為等值規則(Equivalence Rules)和蘊涵規則(Implication Rules)兩大類,暫且稱為進階版。進階版裏的等值規等則有部分是樸素版的引入規則。

    問題1:兩種自然演釋法都容許假設某些Atomic Sentence及Compound Sentence 為真,來幫助推論。但這種假設方法是否有限制? 例如最起碼不容許假設作為結論的θ為真,否則用不著證明了吧? 如有,其內容為何?

    問題2:有點複雜,詳情如下:

    我在網上看見有人以以下的方法(http://www.danielclemente.com/logica/dn.en-node39.html),透過樸素版的自然演釋法,去證明( ( P v Q ) ^ ¬ P ) ├ Q :

    1 P ∨ Q
    2 ¬P
    3 P H
    4 ¬Q H
    5 ¬P IT 2
    6 P IT 3
    7 ¬¬Q I¬ 4,5,6
    8 Q E¬ 7
    9 Q H
    10 Q IT 9
    11 Q E∨ 1,8,10

    其中關鍵是第4行至第7行,當中所使用的, 是否定號(Negation,¬)的引入規則。我懷疑這種使用方法有問題,因為模仿這種方法,你在上文中名為C的論證,即( ( P v Q ) ^ P ) ├ Q,也可以得證如下:

    1 P ∨ Q
    2 P
    3 ¬P H
    4 ¬Q H
    5 P IT 2
    6 ¬ P IT 3
    7 ¬¬Q I¬ 4,5,6
    8 Q E¬ 7


    我認為這結果是荒謬的,因為模仿這個方法,要證明甚麼為真也幾乎可以:只要先假設結論θ為假,然後在演釋中假設和某個前題矛盾節假設,即可得證。那麼,還要其他規則作甚?於是,我的問題是:是否我對否定號的引入規則有誤解? 若是,錯在哪裏? 若非,問題出在哪裏?

    問題3:樹枝證明法及序列證明法在推理時都有具體條件,讓推理停下來,繼而判斷結論θ是否前題Г的語法後果。例如在樹枝證明法裏,只要檢視所有分枝(Branches)封閉與否,即可判斷結論θ是否前題Г的語法後果。但自然演釋法似乎不具備這個條件,這種理解是否正確? 若非,哪這個條件為何?

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  8. 近來鑽研自然演釋法,有些問題想請教一下。
    先交代一下問題的背景資料:正如你所說,同一種證明方法,不同的作者有不同的寫法。從我在網上找到的資料中來看,自然演釋法可大概分為兩種。第一種推論規則較少,只有十一條,有關的規則分為引入規則(Introduction Rules)及消除規則(Elimination Rules)兩大類,暫且稱為樸素版。另一種推論規則較多,有十八條,有關的規則分為等值規則(Equivalence Rules)和蘊涵規則(Implication Rules)兩大類,暫且稱為進階版。進階版裏的等值規等則有部分是樸素版的引入規則。
    問題1:兩種自然演釋法都容許假設某些Atomic Sentence及Compound Sentence 為真,來幫助推論。但這種假設方法是否有限制? 例如最起碼不容許假設作為結論的θ為真,否則用不著證明了吧? 如有,其內容為何?
    問題2:有點複雜,詳情如下:
    我在網上看見有人以以下的方法(http://www.danielclemente.com/logica/dn.en-node39.html),透過樸素版的自然演釋法,去證明( ( P v Q ) ^ ¬ P ) ├ Q :
    1 P ∨ Q
    2 ¬P
    3 P H
    4 ¬Q H
    5 ¬P IT 2
    6 P IT 3
    7 ¬¬Q I¬ 4,5,6
    8 Q E¬ 7
    9 Q H
    10 Q IT 9
    11 Q E∨ 1,8,10

    其中關鍵是第4行至第7行,當中所使用的, 是否定號(Negation,¬)的引入規則。我懷疑這種使用方法有問題,因為模仿這種方法,你在上文中名為C的論證,即( ( P v Q ) ^ P ) ├ Q,也可以得證如下:
    1 P ∨ Q
    2 P
    3 ¬P H
    4 ¬Q H
    5 P IT 2
    6 ¬ P IT 3
    7 ¬¬Q I¬ 4,5,6
    8 Q E¬ 7

    我認為這結果是荒謬的,因為模仿這個方法,要證明甚麼為真也幾乎可以:只要先假設結論θ為假,然後在演釋中假設和某個前題矛盾節假設,即可得證。那麼,還要其他規則作甚?於是,我的問題是:是否我對否定號的引入規則有誤解? 若是,錯在哪裏? 若非,問題出在哪裏?
    問題3:樹枝證明法及序列證明法在推理時都有具體條件,讓推理停下來,繼而判斷結論θ是否前題Г的語法後果。例如在樹枝證明法裏,只要檢視所有分枝(Branches)封閉與否,即可判斷結論θ是否前題Г的語法後果。但自然演釋法似乎不具備這個條件,這種理解是否正確? 若非,哪這個條件為何?

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  9. 抱歉,之前留言4次,但不一會兒留言便消失無踪,可否告知發生甚麼事?

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  10. 再試一下:

    近來鑽研自然演釋法,有些問題想請教一下。
    先交代一下問題的背景資料:正如你所說,同一種證明方法,不同的作者有不同的寫法。從我在網上找到的資料中來看,自然演釋法可大概分為兩種。第一種推論規則較少,只有十一條,有關的規則分為引入規則(Introduction Rules)及消除規則(Elimination Rules)兩大類,暫且稱為樸素版。另一種推論規則較多,有十八條,有關的規則分為等值規則(Equivalence Rules)和蘊涵規則(Implication Rules)兩大類,暫且稱為進階版。進階版裏的等值規等則有部分是樸素版的引入規則。
    問題1:兩種自然演釋法都容許假設某些Atomic Sentence及Compound Sentence 為真,來幫助推論。但這種假設方法是否有限制? 例如最起碼不容許假設作為結論的θ為真,否則用不著證明了吧? 如有,其內容為何?
    問題2:有點複雜,詳情如下:
    我在網上看見有人以以下的方法(http://www.danielclemente.com/logica/dn.en-node39.html),透過樸素版的自然演釋法,去證明( ( P v Q ) ^ ¬ P ) ├ Q :
    1 P ∨ Q
    2 ¬P
    3 P H
    4 ¬Q H
    5 ¬P IT 2
    6 P IT 3
    7 ¬¬Q I¬ 4,5,6
    8 Q E¬ 7
    9 Q H
    10 Q IT 9
    11 Q E∨ 1,8,10

    其中關鍵是第4行至第7行,當中所使用的, 是否定號(Negation,¬)的引入規則。我懷疑這種使用方法有問題,因為模仿這種方法,你在上文中名為C的論證,即( ( P v Q ) ^ P ) ├ Q,也可以得證如下:
    1 P ∨ Q
    2 P
    3 ¬P H
    4 ¬Q H
    5 P IT 2
    6 ¬ P IT 3
    7 ¬¬Q I¬ 4,5,6
    8 Q E¬ 7

    我認為這結果是荒謬的,因為模仿這個方法,要證明甚麼為真也幾乎可以:只要先假設結論θ為假,然後在演釋中假設和某個前題矛盾節假設,即可得證。那麼,還要其他規則作甚?於是,我的問題是:是否我對否定號的引入規則有誤解? 若是,錯在哪裏? 若非,問題出在哪裏?
    問題3:樹枝證明法及序列證明法在推理時都有具體條件,讓推理停下來,繼而判斷結論θ是否前題Г的語法後果。例如在樹枝證明法裏,只要檢視所有分枝(Branches)封閉與否,即可判斷結論θ是否前題Г的語法後果。但自然演釋法似乎不具備這個條件,這種理解是否正確? 若非,哪這個條件為何?

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  11. 我原先用word寫下留言,再轉貼至留言板,但懷疑是文件格式有衝突,導致之前的留言不一會兒便消失,故今次親手輸入,希望成功。不厭其煩,謹此致謝(如果是其他原因,請告知):

    近來鑽研自然演釋法,有些問題想請教一下。

    先交代一下問題背景:正如你所說,同一種證明方法,不同的作者有不同的寫法。從我在網上找到的資料中來看,自然演釋法可大概分為兩種。第一種推論規則較少,只有十一條,有關的規則分為引入規則(Introduction Rules)和消除規則(Elimination Rules),暫且稱為樸素版。另一種推論規則較多,有十八條,有關的規則分為等值規則(Equivalence Rules)和蘊涵規則(Implication Rules),暫且稱為進階版。進階版裏的等值規則部分是樸素版的引入規則。

    問題1:兩種自然演釋法都容許假設某些合規式為真,來幫助推論。但這種方法的使用範圍是否有規定?例如最起碼不容許假設作為結論的θ為真,否則用不著再證明吧?如有,其具體內容為何?

    問題2:有點複雜,詳情如下:

    我在網上看到有人以以下方法(http://www.danielclemente.com/logica/dn.en-node39.html),透過樸素版的自然演釋法,去證明((PvQ)^~P)|- Q:

    1 PvQ
    2 ~P
    3 P H
    4 ~Q H
    5 ~P IT,2
    6 P IT,3
    7 ~~Q I~,4-7
    8 Q E~,7
    9 Q H
    10 Q IT,9
    11 Q Ev,1,8,10

    其中關鍵是第4行至第7行,當中使用的,是否定號(negation,~)的引入規則。我同意使用這規則,即透過假設某合規式為真而導致往後的演釋出現矛盾,來否定某合規式,幫助推論。但我質疑在上述演釋中,這用法是否得當,因為它是藉某些合規式出現矛盾(在上述演釋中,即P及~P),來否定另一個不相幹的假設(在上述演釋中,即~Q)。如果這種方法成立,被你稱為C的論證,即((PvQ)^P)|-Q也可得證如下:

    1 PvQ
    2 P
    3 ~P H
    4 ~Q H
    5 P IT,2
    6 ~P IT,3
    7 ~~Q I~,4-6
    8 Q E~,7

    我認為這個演釋是荒謬的,一來因為 (PvQ)為真及P為真都不足以決定Q的真假值;二來如果接納這種方法,則幾乎任何論證皆可得證:只要先假設作為結論的θ為假,然後假設某個和前題Γ矛盾的合規式為真,從而否定θ為假,即成。於是,我的第二個問題是:是否我對否定號的引入規則理解有誤? 若是,誤解了甚麼? 若否,則出了甚麼問題?

    問題3:樹枝證明法及序列證明法都有具體條件來停止演釋,繼而判定Γ|-θ是否為真。例如在樹枝證明法中,若所有分枝(Branches)皆為封閉,則Γ|-θ為真。但在自然演釋法中,似乎沒有這樣的條件。事實是否如此? 若是,則該條件是甚麼?

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  12. 昨日再試留言,懷疑留言系統有字數或行數限制,而我的留言又頗長,故又轉眼消失。現縮減原先的論敍如下:

    我在網上看到有人以以下方法(http://www.danielclemente.com/logica/dn.en-node39.html),透過樸素版的自然演釋法,去證明((PvQ)^~P)|- Q:

    1 PvQ
    2 ~P
    3 P H
    4 ~Q H
    5 ~P IT,2
    6 P IT,3
    7 ~~Q I~,4-7
    8 Q E~,7
    9 Q H
    10 Q IT,9
    11 Q Ev,1,8,10

    其中關鍵是第4行至第7行,當中使用的,是否定號(negation,~)的引入規則。我同意使用這規則,即透過假設某合規式為真而導致往後的演釋出現矛盾,來否定某合規式,幫助推論。但我質疑在上述演釋中,這用法是否得當,因為它是藉某些合規式出現矛盾(在上述演釋中,即P及~P),來否定另一個不相幹的假設(在上述演釋中,即~Q)。如果這種方法成立,被你稱為C的論證,即((PvQ)^P)|-Q也可得證如下:

    1 PvQ
    2 P
    3 ~P H
    4 ~Q H
    5 P IT,2
    6 ~P IT,3
    7 ~~Q I~,4-6
    8 Q E~,7

    我認為這個演釋是荒謬的,一來因為 (PvQ)為真及P為真都不足以決定Q的真假值;二來如果接納這種方法,則幾乎任何論證皆可得證:只要先假設作為結論的θ為假,然後假設某個和前題Γ矛盾的合規式為真,從而否定θ為假,即成。於是,我的第二個問題是:是否我對否定號的引入規則理解有誤? 若是,誤解了甚麼? 若否,則出了甚麼問題?

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  13. 懷疑留言系統有格式、字數或行數的限制,而我之前的留言要用上頗長的自然演釋法去說明問題,故現把有關的自然演釋法作出改動,方便留言。改動包括:(1)每行序數加上括號;(2)每行演釋所使用的推論規則及引用的合規式加上方括號;(3)每行演釋接連並排,不再逐行列出;(4)每行演釋皆以斜線分隔。

    我在網上看到有人以以下方法(http://www.danielclemente.com/logica/dn.en-node39.html),透過樸素版的自然演釋法,去證明((PvQ)^~P)|- Q:

    (1)PvQ/(2)P/(3)~P[H]/(4)~Q[H]/(5)P[IT,2]/(6)~P[IT,3]/(7)~~Q[I~,4-6]/(8)Q[E~,7]

    其中關鍵是第4行至第7行,當中使用的,是否定號(negation,~)的引入規則。我同意使用這規則,即透過假設某合規式為真而導致往後的演釋出現矛盾,來否定某合規式,幫助推論。但我質疑在上述演釋中,這用法是否得當,因為它是藉某些合規式出現矛盾(在上述演釋中,即P及~P),來否定另一個不相幹的假設(在上述演釋中,即~Q)。如果這種方法成立,被你稱為C的論證,即((PvQ)^P)|-Q也可得證如下:

    (1)PvQ/(2)P/(3)~P[H]/(4)~Q[H]/(5)P[IT,2]/(6)~P[IT,3]/(7)~~Q[I~,4-6]/(8)Q[E~,7]

    我認為這個演釋是荒謬的,一來因為 (PvQ)為真及P為真都不足以決定Q的真假值;二來如果接納這種方法,則幾乎任何論證皆可得證:只要先假設作為結論的θ為假,然後假設某個和前題Γ矛盾的合規式為真,從而否定θ為假,即成。於是,我的第二個問題是:是否我對否定號的引入規則理解有誤? 若是,誤解了甚麼? 若否,則出了甚麼問題?

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  14. Joe兄,我在之後試了好幾個方法,都無法將原先的問題留言,請幫忙看看發生甚麼事,謝謝。

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  15. 系統自動設為 spam ……

    問題一:
    兩種方法都有限制,使得假定可以 discharge 。例如,假定 p ,繼而推出 q ,由此推導到的結論不是 q ,而是 p→q 。可以先看有「前提集」 (presmise set) 的推論系統,來理解如何運作,例如 causey 的 logic, sets, and recursion 第一章。

    問題二:
    那個網頁的推論已 discharge 所有假定,所以沒有問題。(留意結論最左邊有沒有橫線)

    如果把推論寫清楚,會發現你的最終結論 Q 是基於兩個前提和額外假定的 ¬P ,所以最終於沒有 discharge ¬P 這個假定。

    1 P ∨ Q
    2 P
    3 | ¬P (H)
    ⊢————
    4 | | ¬Q (H)
    | ⊢————
    5 | | P (IT 2)
    6 | | ¬ P (IT 3)
    7 | ¬¬Q (I¬ 4,5,6)
    8 | Q (E¬ 7)

    問題三:
    不確定序列證明法有沒有具體條件讓推論停下來。

    樹枝法的確有:當所有分枝都是封閉時即可停止推論。只是如果規則順序用錯,樹枝法也有可能出現無限分枝,永遠停不了。自然演繹沒有像樹枝法那樣的停子的規則。主要分別是,樹枝法「一般」會把語也愈拆愈小,但自然演繹法不一定(例如 addition rule, conjunction rule)。不過這也只是「一般」情況,去到述詞邏輯就不是這樣。

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    1. 明白。我之前沒有discharge assupmtion的概念,所以誤解了那個網頁的推論。

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  16. 關於公理證明法,有點東西請教:

    1.公理證明法很難使用,因為完全不知用那哪條公證理,又不知要代入甚麼合規式。其實箇中有沒有甚麼訣竅,可以容易一點作證明?

    2.想看許多用公理證明法作證明的例子,有沒有甚麼書或網頁推薦?

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    1. 1. 應該沒有比較有用的「訣竅」…
      2. 我看公理系統都不是為了用來做證明,而是用來看後設證明。想看證明可參考一下 Elliott Mendelson 的 Introduction to Mathematical Logic ,裡面的證明算比較多,而符號也比較「平民」。關於自修邏輯,比較全面的介紹可以看 Peter Smith 的 “Teach Yourself Logic” (url: http://www.logicmatters.net/tyl/)

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