條件句與邏輯蘊涵


via here

古典邏輯的質料條件句(→)和邏輯蘊涵(語意後果,⊨)關係非常密切,以致有不少人將條件句和邏輯蘊涵當成同一回事,但兩者其實有很大分別。


首先,在古典邏輯,「p 邏輯蘊涵 q」的意思是

(1). 對於所有詮釋 $\mathfrak{I}$,如果 $\mathfrak{I}$ 使 p 為真,則 $\mathfrak{I}$ 使 q 為真

這可寫成「p ⊨ q」。

再者,古典邏輯有一條「橋」,接通邏輯蘊涵「p ⊨ q」和條件句「p→q」:

(2). p ⊨ q 若且唯若 p→q 是必真句我不喜「套套邏輯」,故用「必真句」表示 tautology 。

此處所謂的「p→q 是必真句」,根據定義,即是

(3). 對於所有詮釋 $\mathfrak{I}$ , $\mathfrak{I}$ 使 p→q 為真

換句話說, (2) 接通 (1) 和 (3) 。有了這條橋, (1) 和 (3) 只會一起成立或一起不成立。就是這條橋令人以為必真的條件句和邏輯蘊涵沒有分別。


不過,條件句和邏輯蘊涵始終是兩回事。最根本的原因是,「⊨」是後設語言的符號,而「→」是對象語言的符號。試設想有一部電腦,只可以輸入古典邏輯的合規式(wff)。我們可以在這部電腦輸入

P, ∼P, ∼Q, P∧Q, ~P∨Q, P→(P∧Q), P∧∼(Q→∼Q), ......

但就不能輸入

P ⊨ Q

因為「⊨」壓根兒不是古典邏輯這套語言裡的符號。情況好比要在算盤輸入「10 > 9」,「10」和「9」是算盤可以處理的符號,「>」不是。

這個區分在古典述詞邏輯已甚重要,要學非古典邏輯更是不可不懂,因為 (2) 那條橋在某些非古典系統根本搭不成。


以三值邏輯 $K_3$ 為例。「邏輯蘊涵」在 $K_3$ 的定義和古典邏輯一樣,但條件句 p→q 的真值表與古典邏輯的不同,因為 $K_3$ 多了真(1)和假(0)以外的 i 值。

$K_3$ 的 $p\to q$

這套系統沒有必真句(邏輯真理),連 P→P 也不例外。 $K_3$ 有詮釋使 P 的值為 i ,繼而使 P→P 的值也是 i ──為 i 即不為真──於是, P→P 並非在每個詮釋底下都為真。故此,

對於所有詮釋 $\mathfrak{I}$ , $\mathfrak{I}$ 使 P→P 為真

不成立。然而, P ⊨ P 卻依然成立,因為「P ⊨ P」的意思是

對於所有詮釋 $\mathfrak{I}$,如果 $\mathfrak{I}$ 使 P 為真,則 $\mathfrak{I}$ 使 P 為真

「P ⊨ P 不成立」代表有詮釋使 P 為真又不使 P 為真,但這在 $K_3$ 是不可能的。由此可知, $K_3$ 的邏輯蘊涵和必真的條件句是兩回事。


出現這種情況,歸根究柢是因為「→」和「⊨」是兩個不同的概念。古典邏輯剛好有橋連結兩者,其他邏輯就未必有這條橋。



備註

兩個通式陳構
  1. 邏輯蘊涵(語意後果)的定義:
    $\Gamma ⊨ q$ $=_{df}$ 對於所有詮釋 $\mathfrak{I}$,如果 $\mathfrak{I}$ 使 $\Gamma$ 所有成員為真,則 $\mathfrak{I}$ 使 $q$ 為真
  1. 連結條件句與邏輯蘊涵的橋:令 $\Gamma$ 的成員是 $p_1, p_2, p_3, ..., p_n$ ,
    $\Gamma ⊨ q$ 若且唯若 $(p_1∧p_2∧p_3∧...∧p_n)→q$ 是必真句

3 則留言:

  1. 我有一些很基本的問題想問一下。

    假設我提出以下論調:

    「邏輯」與「邏輯系統」是不同的概念。「邏輯」是指普遍的思維法則,而「邏輯系統」則是我們研究邏輯的時候建構出來協助我們更有效了解這些思維法則的工具。

    古典邏輯和三值邏輯都是邏輯系統。

    要評價某一個「邏輯系統」(包括其後設理論)是否一個「好」的系統,有幾個準則。其中一個是它的表達能力。如果一個普遍成立的思維法則在某一個「邏輯系統」裡不能成立,這就構成這個「邏輯系統」不是好系統的一個因素。

    A:p ⊨ q 若且唯若 p→q 是必真句

    上述A這個後設邏輯定理是一個普遍的思維法則。這個法則在三值邏輯這個邏輯系統裡不成立,這構成了三值邏輯作為一個邏輯系統(在這一點上)遜於古典邏輯的一個根據。

    Joe兄可否評價(或攻擊)我上述這個論調?

    謝謝。

    回覆刪除
    回覆
    1. //上述A這個後設邏輯定理是一個普遍的思維法則。//

      改為

      //上述A這個後設邏輯定理表達了一個普遍的思維法則。//

      刪除
    2. 基本上我的想法和你一樣,你的意見我幾乎每句都同意,除了幾點:

      1. 思維法則是關於我們思考的法則,形上學法則是世界的法則。非矛盾律「沒有東西能同時是如此又不是如此」如果是思維法則,則是人類沒能力想到有矛盾性質的東西,而不代表沒有東西有矛盾性質。邏輯是思維法則還是形上學法則,這點我一直不確定。
      2. A 不見得是一個普遍的思維法則。就是因為有太多「直覺上普遍的思維法則」聯合在一起出現難以接受的後果(例如古典邏輯的質料條件句問題),所以才出現非古典系統,修改古典邏輯的設定。每個修改都會伴隨一些古典邏輯的性質改變,但如果某些修改版本捨棄 A 卻能得到一個更好的系統,那麼我們就有理由相信 A 其實不是一個普遍的思維法則。所以,若要主張 A 是普遍的思維法則,那還需要主張其他與之衝突、同時又是直覺上的「普遍的思維法則」其實都是不是普遍思維法則。在這方面,我沒有很強的理由相信 A 是普遍的思維法則。

      具體的例子有太多,每個都可以寫一篇筆記,但大意是:如果只看 A ,我們可能覺得它是普遍的思維法則。但如果考慮更多奇怪的情況,例如各種悖論,而我們發現解決諸多悖論(包括嚴格的邏輯、語意悖論,或者僅是違反直覺的理論結果)的其中一個好方法是拋棄 A ,那麼我們便有理由相信 A 其實不是真的普遍的思維法則。

      類比:我們直覺上覺得「每個東西都必定大過它的部分」,但當涉及無限(無限大的集合)時,這個想法就值得商榷。反對「每個東西都必定大過它的部分」,可以承認它在不涉及無限集合時成立,但在涉及無限集時不成立。同樣,反對 A 是普遍思維法則,可以承認它在某大類的情況成立,僅在另一類 (罕見的) 情況 (e.g., 語句非真非假時) 不成立。

      3. 我不肯定你的「根據」意思有多強,不過:如果 A 是一個普遍的思維法則,那麼三值系統裡 A 不成立,確實是三值系統該「扣分」。然而,如果三值系統捨棄 A 之後能解釋東西比古典邏輯多 ── 套你的說法,有更多普遍的思維法則在古典邏輯裡不成立,或者有不是普遍思維法則的東西在古典邏輯裡成立 ── 那麼捨棄 A 縱然是三值系統「遜於古典邏輯的一個根據」,但依然可以有其他(更強的)「古典邏輯遜於三值系統」的根據。

      簡單講,我的2是想說「我不肯定A是一個普遍的思維法則」,3是想說「即使它是普遍的思維法則,也不見得用A來反對非古典系統會是夠強的根據」。

      4. //這個法則在三值邏輯這個邏輯系統裡不成立,這構成了三值邏輯作為一個邏輯系統(在這一點上)遜於古典邏輯的一個根據。//
      三值邏輯有很多套,有很多三值邏輯系統 A 成立。我想你是想講 A 不成立的系統,無論是不是三值。

      我沒有用具體的例子,如果你有興趣再討論。

      刪除

技術提供:Blogger.