∃x(Px→∀yQy) v.s. ∃xPx→∀yQy

語句邏輯以語句為單位,左右括號用來隔開語句,尚且容易用自然語言理解。但述詞邏輯的左右括號有時括住的不是語句,而是非語句的合規式(wffs),比如「∀x(Px→Qx)」,在較簡單的例子,要分辨句子的意思還算容易,但也有些例子沒那麼簡單,稍一不慎便會搞錯。我印象中就有一條題目專考對括號的掌握,要分辦以下兩個述詞邏輯的句子是否等值

(1). ∃x(Px→∀yQy)
(2). ∃xPx→∀yQy

答案是「不等值」,但兩者有何分別?

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第一句沒有自然語言的讀法,只有比較接近自然語言的讀法。我會讀成:

(1). 有東西 x 使得「Px→∀yQy」為真
(有東西 x 使得「如果 x 是 P ,則所有東西是 Q」為真)
(有東西 x 是這樣的:如果它是 P ,則所有東西是 Q)

即是至少有一個常元,塞入「Px→∀yQy」裡面 x 的位置,會出現一句真的句子。例如將常元 a 塞入 x 的位置,會出現「Pa→∀yQy」,如果這句是真的,那麼 (1) 便是真的。第二句有自然語言的讀法:

(2). 如果有東西是 P ,則所有東西都是 Q

將 P 和 Q 代入具體的述詞會更易理解。令論域為人類、 P 為「淋冰桶」、 Q 為「害怕被點名」,這兩句可讀成

(I1). 有個人 x 使得「如果 x 淋冰桶,則所有人都害怕被點名」為真
(有個人是這樣的:如果他淋冰桶,則所有人都害怕被點名)
(I2). 如果有人淋冰桶 ,則所有人都害怕被點名

(2) 蘊涵 (1) , 但 (1) 不蘊涵 (2) 。

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✖反例

在此詮釋 $\mathfrak{I}$ = < D, v > 下, (1) 不蘊涵 (2) 。

論域D ={ $\mathfrak{a}$, $\mathfrak{b}$ }
常元v(a) = $\mathfrak{a}$
v(b) = $\mathfrak{b}$
述詞v(P) = { $\mathfrak{a}$ }
v(Q) = {}

這個詮釋可以用比較不嚴格的講法表達:

論域有 a 和 b 兩個東西
只有 a 是 P (即:Pa 真、Pb 假)
a 和 b 都不是 Q (即:Qa 假、Qb 假)

很明顯 (2) 是假的,因為有東西是 P (a 是 P),但不是所有東西都是 Q (不是 a 和 b 都是 Q)。巧妙的地方在於 (1) 如何為真。論域裡面有 a 和 b 兩個東西,所以能塞入去 x 位置的也只有 a 和 b ,因而只需考慮兩個句子

(1a). Pa→∀yQy
(1b). Pb→∀yQy

只要有一句真就代表 (1) 真。第一句是假的,原因是 a 雖然是 P ,但不是所有東西都是 Q 。可是第二句卻是真的,因為 b 不是 P ,所以 Pb 為假,繼而 Pb→∀yQy 自動為真(注意 Pb→∀yQy 與 ∼Pb∨∀yQy 等值;換句話說,條件句前項為假,整句自動為真)。

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最後順便證明 (2) 蘊涵 (1) 。

用歸謬法:假設有詮釋 $\mathfrak{I}$ 使 ∃xPx→∀yQy 真,但使 ∃x(Px→∀yQy) 假。後者假代表 $\mathfrak{I}$ 的論域沒有東西使 Px→∀yQy 真,也就是論域裡的每個東西都使 Px→∀yQy 假。條件句假必定前項真而後項假,因此論域裡的所有東西都使 Px 真而 ∀yQy 假。在此詮釋底下, ∀yQy 為假。古典邏輯規定論域非空,論域一定有東西,因此一定有東西使 Px 真。但如此一來 $\mathfrak{I}$ 便會使 ∃xPx 真,由於 $\mathfrak{I}$ 使 ∃xPx→∀yQy 真, $\mathfrak{I}$ 會使 ∀yQy 也為真,矛盾。

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