2014年9月27日

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形式邏輯比日常語言少歧義,但也未至於完全沒有歧義。以古典邏輯為例,以下這個寫法可以有兩個意思

$a=a$

在第一個意思, a等同 a 這個性質;在第二個意思, a 有的性質是等同自己。換句話說,無論是「 a 等同自己」還是「 a 等同 a 」,在古典邏輯都會寫成「 $a = a$ 」。

但是用 $λ$ (Lambda) 可以將兩個意思分開。等同自己這性質可寫成「 $λx(x=x)$ 」,因此,「 a 等同自己」是

$λx(x=x)a$

同時,等同 a 這個性質可寫成「 $λx(x=a)$ 」,所以「 a 等同 a 」會寫成

$λx(x=a)a$

「等同自己」和「等同 a 」有極大分別,前者是所有物件都必然擁有的性質,後者是只有 a 才擁有的性質。進一步說,以下這句也有歧義

$∀x(x=x)$

第一個意思是,所有東西都有等同自己這個性質,其個例(instance)會是

$λx(x=x)a$
$λx(x=x)b$
$λx(x=x)c$

a 有性質等同自己b 有性質等同自己c 有性質等同自己,如此類推。在第二個意思底下,所有東西 x 都有等同 x 這個性質,其個例是

$λx(x=a)a$
$λx(x=b)b$
$λx(x=c)c$

即是 a 有性質等同 a b 有性質等同 b c 有性質等同 c ,如此類推。同樣地,等同自己是所有東西都必然擁有的性質,而等同 a 等同 b 等同 c 等性質則皆只有一個東西擁有。換句話說,在第一個意思,所有東西都擁有一個所有東西都擁有的性質(等同自己);在第二個意思,所有東西都擁有僅有一個東西擁有的性質(等同 a 等同 b 等同 c ,等等)。 E. J. Lowe 反對 Kripke 的必然等同論證,其理由正是 $∀x□(x=x)$ 有相仿的歧義。

關於 $λ$ 的其他用法,可參考〈Inverted iota 與 Lambda〉。

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