2014年11月7日

從 W. V. Quine 的 Philosophy of Logic (2nd, pp. 62-63) 讀到一個證明,證明所有等同關係都等值。這個證明假定等同關係 (identity relation) 符合兩個條件

(1). $x=x$
(2). $∼(x=y∧Fx∧∼Fy)$

假設有兩種等同關係 $=_1$ 和 $=_2$ 。令 $x=_1y$ 及 $x=_2y$ ,針對 $x=_1y$ ,根據條件 (2) ,

$∼(x=_1y∧Fx∧∼Fy)$

將述詞 $F$ 換成 $x=_2$,得到

$∼(x=_1y∧x=_2x∧∼x=_2y)$

此外,針對 $x=_2y$ ,根據條件 (1) ,

$x=_2x$

上兩句可推到(用規則 Asso, DeM, DS)

$∼(x=_1y∧∼x=_2y)$

從頭開始,用類似的方式可得到

$∼(x=_2y∧∼x=_1y)$

兩者合起來,便是

$x=_1y≡x=_2y$

$=_1$ 和 $=_2$ 可以是任何一種等同關係,無論等同關係有多少種。換句話說,這證明所有符合條件 (1) 和 (2) 的等同關係都是等值的。(嚴格來說「等值」是用來形容語句,不是用來形容關係。用來形容關係的「等值」可用嚴格意義定義。)

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