2014年11月23日


via the New York Times

早在十七世紀之前,數學家發現計算曲線某點的切線斜率 ── 即是連續移動物體的改變率 ── 對其他計算會有很大幫助,例如,計算物體在一段時間內移動的距離。直至十七世紀,牛頓 (Isaac Newton, 1643-1727) 和萊布尼茲 (Gottfried Leibniz, 1646-1716) 各自獨立發明了微積分,求切線斜率的技術才有重大突破。他們當時用的技術並不難懂,中學數學的程度就看得懂。

首先令 $y$ 為某個函數:

$y=f(x)=x^2$

我們想求 $y$ 這條線上任何一個點的切線斜率,所以先在 $x$ 加上非常非常非常小的值 $dx$ (因為非常小所以講三次),接著在 $y$ 加上相應的 $dy$ 。得到:

$y+dy=f(x+dx)$

由於 $y = f(x)$ ,把 $y$ 換成 $f(x)$ ,兩邊同時減去 $f(x)$ 得到:

$dy=f(x+dx)-f(x)$

把 $f(x+dx)$ 和 $f(x)$ 的值分別代進去後,再經過簡單的計算步聚:

$dy$$=$$(x+dx)^2-x^2$
$=$$(x^2+2x(dx)+(dx)^2)-x^2$
$=$$2x(dx)+(dx)^2$
$=$$dx(2x+dx)$

兩邊一齊除 $dx$ :

$\frac{dy}{dx}=2x+dx$

$dx$ 是我們所能找到最小的值,把右邊的 $dx$ 刪掉之後得到:

$\frac{dy}{dx}=2x$

由是可知, $y$ 曲線上的 $x$ 點的切線斜率是 $2x$ 。

看到這個計算,立即冒出兩個問題:
  1. 為甚麼等號右邊的 $dx$ 可以刪掉但左邊的卻要保留?
  2. $dx$ 的值到底是多少?
如果等號左邊的 $dx$ 和右邊的 $dx$ 相等,它們應該要一齊被刪掉或一齊保留,斷不能只保留其中一個。如果 $dx$ 的值是 0 ,那即使能夠把右邊的 $dx$ 刪掉,左邊的 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{0}$ 在數學上卻是無意義的陳述。最後一個步驟真的沒問題嗎?

使用牛頓和萊布尼茲的新方法,可以用舊方法檢驗。奇妙的是,新方法計算到的結果往往是正確的。為甚麼會這樣?牛頓和萊布尼茲之後約兩百年間,沒有人知道微分過程的最後一步為甚麼能刪掉等號右邊的 $dx$ 。

牛頓和當時的數學家嘗試解釋最後一個步驟的合法性,他們把 $dx$ 稱為 “infinitesimal” (無窮小),意思即是大於 0 但又小於其他數的數。實際上 “infinitesimal” 早存在於古希臘的文獻當中,在十七世紀因為需要解釋微分步驟才重現江湖。因為 $dx$ 不是 0 ,所以不用擔心 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{0}$ 的問題;又因為 $dx$ 小於其他所有的數,所以等號右邊沒有加上 $dx$ 也不會有影響。 Infinitesimal 似乎可以回答那兩個問題。但是,這種數要怎麼想像?真的會有大於 0 但小於所有數的數嗎?經驗主義者柏克萊 (George Berkeley, 1685-1753) 懷疑 infinitesimal 的存在,他在 1734 年 The Analyst 批評「無窮小的數」 (infinitesimal quantity) ,以諷刺的語氣將它稱為「數的亡魂」 (the ghost of departed quantities) ,其大意是: infinitesimal 根本就不是數!

希爾伯特 (David Hilbert, 1862-1943) 相信數學曾有過三次危機,第三次是羅素的集合論悖論,第二次則是在微分過程預設 infinitesimal 的存在。牛頓之後,柯西 (Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857) 引入極限 (limit) 的概念,定義收歛 (convergence) 序數,啟發後人進一步解釋 infinitesimal 。不過,由於柯西本身也相信 infinitesimal 的存在,極限的概念在當時仍未獲得釐清。直至在 1857 年,魏爾斯特拉斯 (Karl Weierstrass, 1815-1897) 才提出一個對極限概念的重要定義。



參考文獻
Bostock, David (2009). Philosophy of Mathematics: An Introduction. Wiley-Blackwell

2 comments:

  1. "“infinitesimal” 才從此在主流數學消失。"
    不大對.Abraham Robinson是一位著名的數學家與邏輯學家,他繼承萊布尼茲的思想,發展了一種的分析學理論叫做non-standard analysis,在嚴謹的數理邏輯基礎下,可以把infinitesimal嵌入實數,通常有兩種方法處理這問題,一種是model-theoretic的方法,另外一種則是syntactic的方法,非數理邏輯專業的通常會比較理解第二種方法.有一些微積分教科書採用了分標準分析,例如H. Jerome Keisler寫的微積分教材便是.而許多數理邏輯教科書都有論及非標準分析,例如UCLA數學系Herbert B. Enderton所寫的A Mathematical Introduction to Logic第二版就有論及非標準分析.

    此外,非標準分析在代數幾何,ergodic theory,群論,機率論,測度論都有應用.所以你說"infinitesimal才從此在主流數學消失"是不對的.

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  2. hseuler:

    謝謝你的回應,為免誤導我改了內容。

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