2014年12月17日


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羅素和弗列格同為數學的邏輯主義者 (logicist) ,認為數學可以全盤化約成邏輯。二人的方法頗有相通之處,但羅素的理論包括類型論 (type theory) ,透過為集合劃分類型(層級)來迴避羅素悖論,弗列格的理論則沒有類型之分。然而,羅素的理論要能將數學歸入邏輯之中,必須有一條公設

(I). $\varnothing\notin\mathbb{N}$

這條公設叫做無限公設 (the axiom of infinity) ,字面上的意思是空集合不在自然數的集合裡(即,空集合不是任何一個自然數)。配合羅素理論的其他部分,這條公設蘊涵世界上有無限多具體物件,一方面使得羅素的理論足以解釋無限多的數字,另一方面也使他的理論出現知識論上的問題。

邏輯主義計劃將數學化約成邏輯,最重要的步驟是處理一類最基本的數 ── 自然數 (natural numbers) 。自然數由 $0$ 開始,繼而是 $1$ ,然後是 $2, 3, 4, 5, ...$ ,無窮無盡。將這些自然數放在一起,所形成的集合便是自然數的集合 $\mathbb{N}$

$\{0,1,2,3,4,5,...\}$

自然數有個從小至大的排序,這個排序可用後繼者 (successor) 來表達。作為起點的數是 $0$ ,它的下一個數是 $1$ ,可用「 $0^{\prime}$ 」表示它是 $0$ 的後繼者(下一個數)。同樣的, $2$ 可用「 $1^{\prime}$ 」表示它是 $1$ 的後繼者,也可用「 $0^{\prime\prime}$ 」表示它是 $0$ 的後繼者的後繼者。所以,自然數的集合 $\mathbb{N}$ 其實也可寫成

$\{0,0^{\prime},0^{\prime\prime},0^{\prime\prime\prime},0^{\prime\prime\prime\prime},0^{\prime\prime\prime\prime\prime},...\}$

「後繼者」是用來刻劃自然數的重要概念。在自然數裡,每個數的後繼者都不一樣。比如, $0$ 的後繼者是 $1$ , $1$ 的後繼者是 $2$ , $2$ 的後繼者是 $3$ ,如此類推。所有自然數只有 $0$ 的後繼者是 $1$ ,其他數(如 $1,2,3,4,5,...$)的後繼者都不是 $1$ ;只有 $1$ 的後繼者是 $2$ ,其他數的後繼者都不是 $2$ 。利用後繼者來刻劃,自然數其中一個重要性質是

(A) 沒有兩個不同的自然數有同一個後繼者用符號表達是:$(\forall x)(\forall y)((x\in\mathbb{N}\land y\in\mathbb{N}\land x^{\prime}=y^{\prime})\to x=y)$。

羅素的理論要化約數學,至少要做到兩件事:一,用他的理論講到甚麼是自然數;二,證明他的理論底下的自然數符合條件 (A) 。

甚麼是自然數?羅素用「人類」做類比。人類不等於每個個別的人,例如不等於拿破崙、亞歷山大大帝、羅賓威廉斯;人類是這些人的共通點,即是,拿破崙、亞歷山大大帝、羅賓威廉斯等等所有人都有的共同特徵。數也是一樣。舉例來說, $3$ 不等於某三條馬路、不等於某三個人組成的群(如政改三人組)、不等於某三個榴槤(乜乜乜),但卻是這些三者成群的東西的共通點(可以是一條馬路加一個林鄭加一個榴槤組成的群)。其他自然數也是一樣:自然數 n 即是所有 n 者成群的東西的共通點。依照這個想法,自然數會落在羅素類型論的某一層

羅素類型論的首四層分別是

類型 #1 : 具體物件
類型 #2 : 具體物件的集合
類型 #3 : 具體物件的集合的集合
類型 #4 : 具體物件的集合的集合的集合

第一層的類型 #1 只是一個個的具體物件,第二層類型 #2 才是由任意數目的具體物件所組成的群(集合)。例如,類型 #2 可以有

$\{\}, \{a\}, \{b\}, ..., \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\},... \{a,b,c\}, \{a,c,d\}, ...$

在這一層,有些集合沒有成員,如 $\{\}$ (即空集合, $\varnothing$);有些集合有一個成員,如 $\{a\}$ ;有些集合有兩個成員,如 $\{a,b\}$ 。此外還有有三個成員的集合、有四個成員的集合、有五個成員的集合,等等。將擁有一樣成員數目的集合分開列出

類型 #2A:$\varnothing$
類型 #2B:$\{a\}, \{b\}, \{c\}, \{d\}, ...$
類型 #2C:$\{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{b,d\}, ...$
類型 #2D:$\{a,b,c\}, \{b,c,d\}, \{a,b,d\}, \{a,c,d\}, ...$
$\vdots$$\vdots$

自然數 $0$ 所有由零個具體物件形成的集合的共通點,自然數 $1$ 是所有由一個具體物件形成的集合的共通點,自然數 $2$ 是所有由兩個具體物件形成的集合的共通點,如此類推。在羅素的理論,表達共通點的方法也是集合。「所有由一個具體物件形成的集合的共通點」其實就是一個更上一級的集合,這個集合將所有由一個具體物件形成的集合收集起來,即是類型 #2B 的集合

$\{\{a\}, \{b\}, \{c\}, \{d\}, ...\}$

這個高一級的集合就是自然數 $1$ 。同樣地,將類型 #2A 的集合(空集合)收集起來的是自然數 $0$ ,將類型 #2C 的集合收集起來的是自然數 $2$ ,將類型 #2D 的集合收集起來的是自然數 $3$ ,如此類推。這些集合比類型 #2 的集合更高一級,是具體物件的集合的集合,因此在類型 #3 。換句話說,所有自然數都在第三層 ── 類型 #3 。

$0$=$\{\varnothing\}$
$1$=$\{\{a\}, \{b\}, \{c\}, \{d\}, ...\}$
$2$=$\{\{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, \{b,d\}, ...\}$
$3$=$\{\{a,b,c\}, \{b,c,d\}, \{a,b,d\}, \{a,c,d\}, ...\}$
$\vdots$$\vdots$

更甚者,自然數的集合是收集自然數 $0,1,2,3,4,...$ 等數而形成的,因此在第四層,屬類型 #4 。

可是,目前依然無法成功化約自然數,因為這個做法將「自然數 n 」定義成「所有 n 者成群的東西的共通點」,但後者的「 n 」卻正正是想要界定的自然數。羅素厲害的地方正在於他用了一個沒有循環問題的方法來得到他想要的自然數。他的方法是先定義「 $0$ 」,再定義「後繼者」,藉由這兩個概念得到上表的所有自然數。

起點 $0$ 的定義
$0$ $=_{df}$ $\{\varnothing\}$

後繼者的定義
$x^{\prime}$ $=_{df}$ 一個集合,這個集合裡的成員 $y$ 都是這樣的:有個 $z$ 在 $y$ 裡面, $z$ 被拿走之後所形成的集合是 $x$ 的成員這個寫法有歧義,其中一個意思是所有 $y$ 都有一個共同成員 $z$ ,但羅素的定義沒有這個意味。 $z$ 只是任何一個 $y$ 裡面任意一個成員,比較嚴格的表達是

$\uparrow\mspace{-6.0mu}y(\exists z(z\in y\land ((y\cap\text{Comp}(\{z\}))\in x)))$

這個表達方式涉及「$\uparrow$」、「$\cap$」和「$\text{Comp}(...)$」,三者的定義分別是:

$\uparrow\mspace{-6.0mu}y Fy =_{df} \text{the }w: \forall y(Fy\leftrightarrow y\in w)$
$y\cap w =_{df} \text{the }s: \forall v(v\in s\leftrightarrow (v\in y\land v\in w))$
$\text{Comp}(w) =_{df} \text{the }s: \forall v(v\in s\leftrightarrow v\notin w)$

這兩個定義都沒有循環問題。自然數 $0$ 直接定義成空集合的集合,而空集合本身不需用 $0$ 來定義。

Fig. A: $0^{\prime}$ from $0$Fig. B: $0^{\prime\prime}$ from $0^{\prime}$

後繼者同樣沒有涉及循環問題,乍看之下十分複雜,需要用例子說明。以 $0$ 的後繼者 $0^{\prime}$ 為例,根據定義, $0^{\prime}$ 是個集合,裡面的每個成員 $y$ 都是這樣的: $y$ 本身也是集合,而且裡面有個成員,將那個成員剔走之後,剩下的集合是 $0$ 的成員 ── 即 $\{\varnothing\}$ 的成員。 $y$ 剔走某個成員後會變成 $\{\varnothing\}$ 的成員,也就是說, $y$ 剔走那個成員後會變成空集合,這代表 $y$ 本身只有一個成員。 $0$ 的後繼者 $0^{\prime}$ 裡面的成員都和 $y$ 一樣,因此 $0^{\prime}$ 裡的成員都是只有一個成員。同樣的, $1$ 的後繼者 $1^{\prime}$ 裡面的成員都是這樣的:將它們裡面某個成員剔走,它們都會變成 $1$ 的成員,也就是會變成只有一個成員的集合,這代表 $1^{\prime}$ 的成員本身都有兩個成員。由於 $0$ 本身已定義好,所以雖然 $0^{\prime}$ 的定義涉及 $0$ (「剩下的集合是 $0$ 的成員」),也不會有循環問題。有了 $0$ 和 $1$ ,即使 $1^{\prime}$ 的定義裡出現 $1$ ,同樣也沒有問題。如此類推,便可成功得到所有自然數。

可是,如果最底層的類型 #1 只有有限多的具體物件,羅素的理論便無可避免會違反 (C) ,因而無法正確捕捉自然數的特質。這點可用例子說明。假定整個世界只有 10 個具體物件(類型 #1 ),暫定是 $a,b,c,d,e,f,g,h,i,j$ ,這些具體物件可以組成一個有十個成員的集合(類型 #2 ),但卻不足以組成有十一個成員的集合。自然數 $10$ 在這情況是個只有十個具體物件的集合的集合,但它的後繼者 $10^{\prime}$ 呢?根據後繼者的定義, $10^{\prime}$ 的成員都要符合一個條件:將裡面某個成員剔走之後,會變成只有十個具體成員的集合。換言之, $10^{\prime}$ 的成員本身要有十一個具體物件,但這個世界根本沒有十一個具體物件,所以,根本沒有東西符合條件,於是 $10^{\prime}$ 裡面沒有任何成員 ── $10^{\prime}$ 會是空集合。進一步考慮 $10^{\prime\prime}$ ,根據後繼者的定義, $10^{\prime\prime}$ 裡面的成員都要符合一個條件:剔走內裡某個成員後會是 $10^{\prime}$ 的成員,也就是會是空集合的成員。但空集合根本沒有成員,沒有東西會符合此條件,所以 $10^{\prime\prime}$ 也是空集合。

$10 = \{\{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j\}\}$
$10^{\prime}=\varnothing$
$10^{\prime\prime}=\varnothing$

問題來了。 $10$ 和 $10^{\prime}$ 的後繼者一樣,都是空集合,但 $10$ 和 $10^{\prime}$ 本身是不同集合,不同的自然數,於是,兩個自然數有了一樣的後繼者,違反 (C) 。

由此可知,如果世界只有有限多的具體物件,空集合會是自然數。無限公設禁止空集合成為自然數,於是蘊涵世界有無限多的具體物件。有了這條公設,羅素可以證明他理論底下的自然數符合條件 (C) 。然而,這條公設也成了羅素類型論的問題。

邏輯主義計劃將數學化約成邏輯,這個計劃往往帶有知識論上的動機。當中最主要就是要解釋我們為何(似乎)能先驗地 (a priori) 知道數學命題成立與否,例如我們為何不需要走遍名山大川便能知道 $7+5=12$ 。將數學化約成邏輯,其中一個目標便是解釋數學的證成 (justification) 從何而來、為甚麼數學證成似乎是先驗的。因此,用來化約數學的邏輯,理應要比數學更加明顯是先驗的,但是無限公設卻怎看也不似是先驗的原則。這條公設蘊涵世界的具體物件有無限多,但我們卻可輕易想像只有有限多具體物件的世界。即使無限公設真的成立,只要這條公設沒有比數學更加明顯、更加自明,它便仍不足以解釋數學的證成從何而來。




參考文獻
Soames, Scott (2005). Philosophical Analysis in the Twentieth Century, Volume 1: The Dawn of Analysis. Princeton University Press.

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