2015年7月5日

Photo Credit: Xalikot via Compfight cc
古典邏輯一直有許多備受爭議的設定。如果說條件句是古典語句邏輯的大戰場,那麼,論域非空的設定便是古典述詞邏輯的大戰場。

述詞邏輯和語句邏輯最大的差異,在於述詞邏輯多了量化詞。古典述詞邏輯多出來的量化詞有兩個,分別是全稱量化詞 (universal quantifier) 和存在量化詞 (existential quantifier) 。「所有東西都是豬」在語句邏輯要翻譯成簡單語句「A」,在述詞邏輯則要翻譯成具有全稱拘束的語句「∀xPx」。「有些東西是豬」在語句邏輯譯成「B」,在述詞邏輯要譯成有存在拘束的語句「∃xPx」。量詞預設論域 ── 當你說「所有東西都是豬」時,你的「所有東西」指的可能是所有物件,可能是所有生物,也可能是所有動物,但肯定要有「範圍」,這個範圍便是「論域」 (domain) 。古典述詞邏輯規定,論域不可以是空集合,亦即是說,論域不能一無所有。

基於這個設定,以下兩個推論在古典邏輯都是真確的 (sound) :

1. ∀x(x=x)
2. a=a
3. ∃x(x=x)

1. ∀x(Px∨¬Px)
2. Pa∨¬Pa
3. ∃x(Px∨¬Px)

這兩個推論的結論都有存在蘊涵:至少有一個東西存在。首先,兩個論證的推論過程在古典邏輯都沒有問題。由 1 到 2 是全稱例化 UI ,由 2 到 3 是存在推廣 EG 。再者,兩個論證的前提在古典邏輯都成立。第一個論證的前提 1 在有等號的古典述詞邏輯是公理,第二個論證的前提 1 在古典述詞邏輯是可另外證明的定理(用歸謬法,假設 ¬∀x(Px∨¬Px) ,再導出矛盾)。真前提加上對確論證,結論也必真。由此,根據古典邏輯的設定,「至少一個東西存在」是邏輯真理。

雖然有規定未必就有不當規定,論域非空的規定在不少邏輯哲學家看來依然相當可疑,於是當代的自由邏輯 (free logic) 應運而生。自由邏輯有幾個設定方式,一個方式是沿用單一論域但容許論域一無所有,另一個方式是使用雙論域 ── 內域 (inner domain) 和外域 (outer domain) ── 但規定內域可以一無所有。只要量化詞所談及的論域一無所有,任何存在拘束的語句 ── 包括 ∃x(x=x) 和 ∃x(Px∨¬Px) ── 都不會是為真。進而,由於論域可以一無所謂,存在拘束的語句都不會是邏輯真理。

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