Barcan Formula

模態邏輯有兩個式子,由女哲學家 Ruth Barcan Marcus 命名,分別是

(BF) $\forall x\Box Fx\to\Box\forall x Fx$
(CBF) $\Box\forall x Fx\to\forall x\Box Fx$

第一個式子叫做 Barcan Formula ,第二個叫 Converse Barcan Formula 。

模態邏輯分固定式論域 (constant domain) 和變動式論域 (variable domain) 兩種。論域是物件的集合,在前一種模態邏輯每個可能世界都有同一個論域,在後一種模態邏輯可能世界的論域未必一樣。

(BF) 和 (CBF) 在固定式論域的模態邏輯雖然為真,在變動式論域模態邏輯卻有可能為假。 Kripke (1963) 有兩個簡單的例子,證明論域隨可能世界變動的模態邏輯底下, (BF) 和 (CBF) 都可為假。

Fig. 1

設 $w_0$ 有 a 一個物件, $w_1$ 有 a, b 兩個物件,兩個世界都只有 a 是 F 。由此,

$\forall x \Box Fx$

在 $w_0$ 為真,因為 $w_0$ 裡的所有東西就即是 a ,而 a 在所有可能世界都是 F 。然而,

$\Box\forall xFx$

在 $w_0$ 卻是假的,因為不是所有可能世界裡所有物件都是 F ,例如在 $w_1$ 便有一個 b 不是 F 。因此 (BF) 為假。


Fig. 2

設 $w_0$ 有 a, b 兩個物件, $w_1$ 有 a 一個物件,第一個世界兩個物件都是 F ,第二個世界只有 a 是 F 。由此,在 $w_0$

$\Box\forall xFx$

在 $w_0$ 為真,因為所有可能世界裡所有東西都是 F 。不過

$\forall x\Box Fx$

在 $w_0$ 卻是假的,理由是, $w_0$ 裡的東西不是全都必然是 F ,例如 b 便沒有在可能世界都是 F :可能世界 $w_1$ 沒有 b ,所以,「b 是 F」在 $w_1$ 沒有為真。因此 (CBF) 為假。



Kripke, S. (1963) Semantical Considerations on Modal Logic (pp. 67-68). In L. Linsky (1971) Reference and Modality. Oxford University Press.

4 則留言:

  1. 最後那個地方(Figure 2)不明白,版主你說,∀x□Fx在w0裡是假的,因為w1裡沒有b。可是∀x□Fx表達的是對任何給定的事物,例如b,在每個它存在的可能世界中,Fx,沒有b怎麼能用來證否呢?
    當然,這可能是個小錯誤,只要把w1裡加上b,並規定b在w1裡不符合F就行了。

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    1. 不是錯誤,如果 w1 裡有 b 而 b 不符合 F ,那就不會是反例,因為前項 □∀xFx 便會為假。

      ∀x□Fx 在 w0 為真,
      若且唯若, w0 裡所有東西都符合 □Fx ,
      若且唯若, a 和 b 都符合 □Fx ,
      若且唯若, a 和 b 都在所有可能世界符合 Fx 。
      因此, b 必須在 w1 符合 Fx ,但由於 w1 沒有 b ,所以 b 並沒有在 w1 符合 Fx 。

      注意,重點在於 w1 裡沒有 b 使得「Fb」不是真的,因為古典語意裡「Fb」要為真就必須 (i)
      「b」指到東西,而且 (ii) 「F」指到集合,而且 (iii) 「b」指到的東西屬於「F」指到的集合。在 w1 裡第一個條件 (i) 不符合。

      此處的 Barcan Formula 和 Converse Barcan Formula 的反例,都要令可能世界裡的東西變動,例如 w0 和 w1 存在的東西不同,就是這個原因使後來衍生出 variable domain modal logics (Priest, 2008, introduction to non-classical logic (2nd), pp.329-330) 。

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    2. 嗯,我搞錯了,多謝版主細心的解釋。話說這個版塊真的挺好的,都是版主一個人做的嗎?

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    3. 謝謝,這裡都是我個人的筆記

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