二維模態邏輯之起源

二維模態邏輯 (two-dimensional modal logic) 的出現和其他邏輯系統一樣,是為強化既有邏輯系統的表達力,使之能處理更多日常語句。二維模態邏輯最早出現在 Segerberg (1973) ,不過最為人熟知卻是在 Crossley & Humberstone (1977) 及 Davies & Humberstone (1980) 。後兩篇考慮的語句是

(1). It is possible for every red thing to be shiny

這句有個重要的意思:有可能所有紅色的東西一起都有光澤。假如考慮的情況有 a, b 兩個紅色東西,根據 (1) ,有可能 a, b 一齊都是有光澤的東西。假如考慮的情況有 a, b, c 三個紅色東西,根據 (1) ,有可能 a, b, c 一齊都是有光澤的。如此類推。

然而,一般的模態邏輯最貼近的翻譯只有

(1a). $\Diamond\forall x (Rx\to Sx)$ (有可能所有東西都是:如果是紅色的,便有光澤)
(1b). $\forall x \Diamond(Rx\to Sx)$ (每個東西都有可能是:如果是紅色則有光澤)
(1c). $\forall x(Rx\to\Diamond Sx)$ (每個紅色的東西都可能有光澤)

這三個譯法都不足以捕捉原本 (1) 所具有的意思。

使用 Kripke (1959, 1963) 的標準模態邏輯語意,讓 $w_0$ 為基準世界 (base world) ,考慮關鍵語句在 $w_0$ 為真還是為假,可發現 (1) 與 (1a), (1b), (1c) 都有不一樣的真假值。

考慮 Fig. 1 所描繪的情況:

Fig. 1

在這個情況 (1a) 相對於基準世界 $w_0$ 是真的,因為它說的是:有一個可能世界,裡面所有紅色的東西都是有光澤的。在 $w_1$ 裡面便是全部紅色的東西都有光澤,因此對 $w_0$ 而言,有可能全部紅色的東西都有光澤。

第二個譯法 (1b) 同樣相對 $w_0$ 是真的。基準世界裡每個紅色的東西是 a, b 。首先,有可能如果 a 是紅色則 a 有光澤,因為 $w_1$ 裡的 a 既是紅色又有光澤。再者,有可能如果 b 是紅色則 b 有光澤,因為 $w_1$ 裡 b 不是紅色,所以「如果 b 是紅色則 b 有光澤」自動為真 (vacuously true) 。因此, $w_0$ 的所有東西 a, b, 都有可能如果是紅色則有光澤。

不過,以 $w_0$ 做基準世界, (1) 有一個意思: $w_0$ 裡的所有紅色東西 a, b 有可能全部一齊有光澤。但在這情況裡,沒有一個可能世界是 a, b 都是有光澤的,所以 (1) 反而是假的。

考慮另一個情況 Fig. 3 :

Fig. 2

(1c) 說每個紅色的東西都有可能有光澤,基準世界是 $w_0$ ,故 (1c) 說的每個紅色的東西是指 $w_0$ 裡的 a 和 b 。由於 a 在 $w_1$ 有光澤, b 在 $w_2$ 有光澤,所以確是每個紅色的東西都可能有光澤。然而, (1) 的意思是: $w_0$ 的紅色東西有可能全部一齊都有光澤。這情況底下,沒有一個可能世界是 a, b 一齊有光澤,因此 (1c) 同樣無法捕捉 (1) 的意思。

二維模態邏輯加入一個運作元 (operator) ── 「$\mathcal{A}$」,意指「現實世界的」。利用這個運作元, (1) 可譯做

(1d). $\Diamond\forall x(\mathcal{A}Rx\to Sx)$

這句的意思是:有一個可能世界,裡面所有在現實世界是紅色東西都有光澤。而現實世界 (actual world) ,指的就是基準世界,因此,相較前兩個譯法,最後這個最貼近 (1) 的意思。理由是,加上 $\mathcal{A}$ 後, (1d) 一律要考慮基準世界的紅色東西,加上外面有 $\forall x$ 拘束,所以在 Fig. 1 和 Fig. 2 都是要考慮 $w_0$ 的紅色東西 a 和 b 是否一齊是紅色的。(採用變動式論域的話,意思可能有偏差。)

古典邏輯 (classical logic) 的語句有真有假,不需參照點。古典邏輯每個詮釋 (interpretation) 的賦值函數 (valuation function) 決定語句的真假,只要輸入語句便會輸出真假值:

$v(p)=\sf{T}$

模態邏輯 (modal logic) 的語句一樣有真有假,不過必須有一個可能世界作為參照點:每個語句都是在可能世界為真或為假。換句話說,在模態邏輯沒有所謂「語句 $p$ 為真」,而只有「語句 $p$ 在可能世界 $w$ 為真」。模態邏輯的賦值函數要決定語句在可能世界的真假,輸入語句可能世界即會輸出該語句在該可能世界的真假值:

$v(p, w)=\sf{T}$

二維模態邏輯 (two-dimensional modal logic) 進一步擴充模態邏輯,將參照點增加至兩個,以兩個可能世界作為參照點:一個和普通的模態邏輯一樣,另一個是現實世界(基準世界)。(Humberstone, 2004)二維模態邏輯裡的語句同樣是在可能世界底下有真假值,只不過是需要進一步考慮現實世界。因此,二維模態邏輯的賦值函數要輸入語句現實世界考慮語句真假的可能世界(有時 $w_0$ 和 $w$ 是同一個世界):

$v(p, w_0, w)=\sf{T}$

這裡的意思是「以 $w_0$ 作現實世界,語句 $p$ 在 $w$ 為真」。許多時候,哪個是現實世界並不影響 $p$ 在 $w$ 的真假值,不過當 $p$ 本身含有 $\mathcal{A}$ ,現實世界是哪一個便會有影響。例如在 (1d) , $\mathcal{A}Rx$ (actual-Rx) 所指的並不是在 $w$ 裡符合 $Rx$ (紅色的)的東西,而是指在現實世界符合 $Rx$ 的東西,所以在 Fig. 1 和 Fig. 2 都是指 a, b 兩個東西,而不是 $w_1$, $w_2$ 裡的紅色東西。



Kripke (1959) A Completeness Theorem in Modal Logic. JSL
Kripke (1963) Semantical Analysis of Modal Logic I Normal Modal Propositional Calculi. MLQ
Segerberg (1973) Two-Dimensional Modal Logic. JPL
Crossley & Humberstone (1977) The Logic of ‘Actually’. RML
Davies & Humberstone (1980) Two Notions Of Necessity. PS
Humberstone (2004) Two-dimensional Adventures. PS

4 則留言:

  1. 「有可能,紅色的東西全部都是有光澤的東西」和「有可能所有紅色的東西都有光澤」這兩句中文太相似,可以被理解為同一意思(我看不到「全部」和「所有」在意思上有甚麼不同),不宜用來分別表達(1)和(1a)。我會這樣寫:

    (1)有可能所有紅色的東西一起都有光澤。
    (1a)有可能所有東西都是:如果是紅色的,便有光澤。

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