2015年12月27日

現時二維模態邏輯的形式系統主要源於 Crossley & Humberstone (1977) ,而將模態邏輯擴充至二維模態邏輯的主要理由是要翻譯 “It is possible for every red thing to be shiny” 這類的語句。 Teichmann (1990) 反對這個理由,他認為其實普通的模態邏輯也有至少兩個翻譯方法。第二個譯法預設不少數學哲學的背景,講起來太麻煩,第一個譯法倒是值得介紹。

首先,原本需要翻譯的語句是

(1). It is possible for every red thing to be shiny

這句的意思其實倒可寫成

(1') There are a group of things which are all red, and which alone are red, and it is possible that they should all be shiny.

換句話說, (1') 的意思是:有一批紅色的東西,而且僅有這批東西是紅色的,並且有可能這批東西全部都有光澤。

令 r 為某個集合,「Rx」為「x是紅色的」,「Sx」為「x是有光澤的」。第一步要譯到「有一批紅色的東西,而且僅有這批東西是紅色的」。因此要令 r 這個集合收集所有紅色的東西,故該寫成

$(\exists r)(\forall x)(x\in r \leftrightarrow Rx)$

第二步要譯出「這批紅色的東西有可能全部都有光澤」,也就是,有可能這批 r 裡的東西全都有光澤,所以是

$\Diamond (\forall x)(x\in r \to Sx)$

這兩個件事加在一起,便是 (1') 的翻譯

$(\exists r)((\forall x)(x\in r \leftrightarrow Rx)\land \Diamond (\forall x)(x\in r \to Sx))$

第一部分確定集合 r 收集了所有紅色的東西,第二部分說 r 裡的那一堆東西有可能全部都有光澤,因此保留原本 (1) 的意思。

這個譯法最明顯的代價便是 r 。由於 r 是集合,第一個量詞「$\exists r$」相應的論域裡必須包含集合,如果用這個譯法取代二維語意論的「$\mathcal{A}$」,就需在形上學方面假設有集合存在,至少要解釋這個看似預設集合存在的譯法沒有形上學問題。



Crossley & Humberstone (1977) The Logic of ‘Actually’. RML
Teichmann (1990) Actually. Analysis

0 comments:

張貼留言

 
Toggle Footer