對確論證與蓋確論證



論證 (argument) 由前提和結論組成,前提和結論都是命題 (propositions) ,都有真假可言。比如,「小明是人」和「小明有父母」都是命題,以前者支持後者,便構成了以下的論證

小明是人
因此,小明有父母

前提與結論之前的邏輯關連可分為兩種,一種是對確性 (validity) ,另一種是蓋確性 (strongness) 。這兩種邏輯關連都是用來表示前提對於結論的支持程度。

何謂對確論證 (valid argument, 有效論證) ?標準的定義有三個陳構
  • 如果前提全部皆是真的,必然地結論也是真的
    (if all the premises are true, then necessarily the conclusion is also true) 
  • 必然地,如果前提全都是真的,則結論也是真的
    (necessarily, if all the premises are true, then the conclusion is true) 
  • 不可能:前提全部都真,但結論卻不是真的
    (it is impossible that both all the premises are true and the conclusion is false)
換句話說,對確論證的前提和結論的真假值有著某種必然連結:一旦對確論證的前提都為真,其真值便會「保存」到結論。因此,「對確性」又有所謂「真值保存」 (truth-preserving) 的特徵。

另一方面,若果前提和結論沒有必然連結,但有蓋然連結,論證雖然不是對確論證,卻仍然可以是蓋確論證 (strong argument, 強論證) 。蓋確論證的定義同樣有三個陳構
  • 如果前提全部皆是真的,非常可能結論也是真的
    (if all the premises are true, then probably the conclusion is also true) 
  • 非常可能,如果前提全都是真的,則結論也是真的
    (probably, if all the premises are true, then the conclusion is true) 
  • 不大可能:前提全部都真,但結論卻不是真的
    (it is improbable that both all the premises are true and the conclusion is false)
亦即是說,前提真而結論假的蓋率夠低,便是蓋確論證。對確論證不可能前提真結論假,蓋確論證不大可能前提真結論假。

有別與「對確」,「蓋確」有程度可言。兩個蓋確論證,有可能一個比另一個更加蓋確,例如以下兩個論證,第二個(右)便比第一個(左)更加蓋確:

九成港人喜愛旅遊九成半港人喜愛旅遊
小明是港人小明是港人
因此,小明喜歡愛遊因此,小明喜歡愛遊

我所列出「對確」和「蓋確」的兩組定義,以最後一個為最標準的定義。不過,稍加思考,不難發現這樣定義的話,對確論證會是蓋確論證的一個特殊情況:當論證的前提真而結論假的可能性為零,論證一方面會是對確的(不可能前提真結論假),另一方面也會是蓋確的(不大可能前提真結論假)。要排除對確與蓋確重疊的情況,其中一個方法便是在蓋確論證的定義加上一個條款「但非不可能」,即是將「蓋確論證」定義成「不大可能(但非不可能):前提全部都真,但結論卻不是真的。」

對確論證有兩種特殊情況。(問題三與問題四)在這兩個情況,即使前提和結論的內容毫無關連,也會自動符合對確論證的定義。

情況一:前提不可能為真 (impossible for the premises to be true)
情況二:結論不可能為假 (impossible for the conclusion to be false)

在第一個情況,既然前提已不可能為真,自然也就不可能同時前提真之餘結論假,於是空洞地 (vacuously) 符合對確論證的定義。在第二個情況,結論已不可能為假,同樣道理,前提真並且結論假也會是不可能的,一樣空洞地符合對確論證的定義。舉兩個例子

有些單身漢是已婚的人太陽系有十大行星
因此,太陽系有十大行星因此,所有單身漢都不是已婚的人

這兩個例子都不可能出現「前提真並且結論假」的情況,所以空洞地成了對確論證。

若果採用上述定義的蓋確論證,相似的特殊情況也會出現

情況一:前提不大可能為真 (improbable for the premises to be true)
情況二:結論不大可能為假 (improbable for the conclusion to be false)

假定明日太陽由東方昇起的可能性非常高,基於一樣的道理,以下兩個論證的前提與結論的內容雖然無關,但仍然會符合上述的蓋確論證的定義

明日太陽不是由東方昇起太陽系有十大行星
因此,奧巴馬當選美國總統因此,奧巴馬當選美國總統

由於「明日太陽不是由東方昇起」(前提真)的可能性低,「明日太陽不是由東方昇起,而且,奧巴馬沒有當選美國總統」(前提真並且結論假)的可能性一樣會是很低,故此會符合蓋確論證的定義。另一方面,結論「明日太陽由東方昇起」為假的可能性低,所以前提真而結論假的可能性同樣很低,符合蓋確論證的定義。

對確論證和歸納論證的兩個類特殊情況衍生不少邏輯哲學的問題。這方面的討論方向大致有兩個:
  1. 保留原本的定義,容許對確論證和蓋確論證出現兩類特殊情況。不過,區分「對確/蓋確論證」 (valid/strong argument) 和「好的論證」 (good argument) 。前提和結論八竿子打不著的論證即使可以對確或蓋確,但不會是好的論證。
  2. 修改「對確論證」和「蓋確論證」的定義,使得前提和結論必須相干。例如,針對對確論證,有一類形式邏輯系統是「相干邏輯」 (relevance logic) ,要求前提和結論在形式上也必須有關連(比如,前提和結論至少有一個共同的簡單命題)。針對蓋確論證, Brian Skyrms 的 Choice and Chance (2000, 4th, p.17) 的定義至少可以避開其中一類特殊情況。

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