拘束述句的邏輯系統



一階述詞邏輯 (first-order logic) 有量化詞 (quantifier) 、述詞 (predicate) 、常元 (constant) 和變元 (variable) ,量化詞可拘束個體變元 (individual variable) 。比如,「所有人都會死」在一階述詞邏輯可表達成

∀x(Hx→Mx)

全稱量化詞「∀」拘束個體變元「x」。

二階述詞邏輯 (second-order logic) 同樣有量化詞、述詞、常元和變元,不過除了個體變元,二階述詞邏輯還有述詞變元 (predicate variable) 。比如,「所有小明擁有的性質小馬都擁有」(小明是怎樣的,小馬便是怎樣的)可譯成

∀F(Fa→Fb)

著名的萊布尼茲定律「如果兩物等同,則兩物擁有一樣的性質」便要用二階述詞邏輯表達

∀x∀y(x=y→∀F(Fx→Fy))

意即:對於所有東西 x 及 y ,如果 x 和 y 是同一個東西,則,對於所有性質 F ,如果 x 擁有的 F 則 y 也擁有 F 。二階述詞邏輯的量化詞可拘束個體變元,如「x」,也可拘束述詞變元,如「F」。

述詞可依位數分類,比如「Hx」是一位述詞,有一個空位可填單稱詞,「Rxy」是二位述詞,有兩個空位可填單稱詞 ,「Lxyz」是三位述詞,有三個空位可填單稱詞,如此類推。比較特別的是,當述詞沒有空位可填單稱詞,也就是零位述詞,它便即是述句 (statement) 。比如,

Lxyz = x gives y to z
Rxy = x is richer than y
Hx = x is a man
P = Socrates is a man

二階述詞邏輯的量化詞既可拘束述詞,自也可拘束零位述詞,所以連「所有述句 p ,如果 p 則 p 」也可在二階述詞邏輯表達

∀P(P→P)

其個例包括

如果太陽系有九顆行星,則太陽系有九顆行星
如果十大於二,則十大於二
如果貓奴討厭狗,則貓奴討厭狗
……

W. V. Quine 認為要表達類似的邏輯真理的架式,必須用不一樣的方法,例如「所有 ⌈如果 p 則 p⌉ 形式的述句皆為真」。當中的「⌈如果 p 則 p⌉」提及 (mention) 述句本身,而不是在使用 (use) 述句,語意提升一層(由使用某個符號變成提及那個符號本身),因此這個方法又稱為「語意提昇」 (semantic ascent) 。二階述詞邏輯的「∀P(P→P)」沒有提及述句「P」本身,就如「∀x(Hx→Mx)」沒有提及變元「x」本身,有別於 Quine 的方法。

然而,不少人認為「∀P」裡全稱量化詞的所拘束的「P」其實是命題 (proposition) ,由於反對有所謂客觀自存的命題(加上其他理由), Quine 並不接受二階述詞邏輯。

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