邏輯系統外、邏輯系統內


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論證可分成形式論證 (formal argument) 和非形式論證 (informal argument) ,以這個非形式論證為例

所有人都會死
所有會死的都是動物
因此,所有人都是動物

定言三段論、命題邏輯、述詞邏輯分別將它翻譯成不同的形式論證

定言三段論命題邏輯述詞邏輯
All S are M
All M are P
/∴ All S are P
A
B
/∴ C
∀x(Hx→Mx)
∀x(Mx→Fx)
/∴ ∀x(Hx→Fx)

最初的論證「所有人都會死,所有會死的都是動物,因此,所有人都是動物」是用日常語言表達,直覺上前提保證結論為真,是對確論證 (valid argument) 。此時的直覺不依賴任何形式系統,是系統外對確 (extra-systematic validity) 。

相反,系統內對確 (system-relative validity) 則取決於邏輯系統的設定。將最初的非形式論證翻譯成定言三段論的「All S are M, All M are P /∴ All S are P」後,檢查系統設定,不難發現它在定言三段論是對確的。將同一個非形式論證翻譯成命題邏輯,卻成了「A, B /∴ C」,由於「A」、「B」、「C」都是簡單命題,根據命題邏輯的設定,可任意分配為真或為假,所以翻譯之後在命題邏輯是不對確的論證。述詞邏輯的翻譯與定言三段論、命題邏輯都要不同,在述詞邏輯的設定底下,「∀x(Hx→Mx), ∀x(Mx→Fx) /∴ ∀x(Hx→Fx)」是對確的論證。

參照 Susan Haack (1978, pp.16-26) 的分類,我們可將上述整個過程涉及的三個元素列出

logica utenslogica docens
extra-systematic validitysystem-relative validity
非形式論證
informal argument
符號表達
symbolic
representation
形式論證
formal argument

這三個元素分別是:非形式論證,符號表達(翻譯過程),形式論證。邏輯系統的演變和革新,許多時候就是在於這三個元素。

†甲

考慮一個經典列子

(A)
所有人都會死
蘇格拉底是人
因此,蘇格拉底會死

嚴格而言,定言三段論 (categorical syllogism) 無法處理這個論證,因為一來「蘇格拉底是人」和「蘇格拉底會死」不是定言命題 (categorical proposition) ,二來若果勉強將這兩個命題譯成定言命題,整個論證仍會違反三段論只有三個定言命題的限制。然而, (A) 顯然是系統外對確的,所以我們修改定言三段論,使得擴充後的三段論系統可以翻譯這個論證,並將之判定為系統內的對確論證。

All S is P
a is S
/∴ a is P

然而,無論定言三段論如何擴充,也難以處理這個非形式論證

(B)
所有馬都是動物
因此,所有馬的頭都是動物的頭

由於定言三段論沒有相應的對確形式論證可以處理 (B) ,促使後來的邏輯學家放棄三段論系統。

判斷邏輯系統是否恰當,往往在於三個元素之間的平衡。一方面,有個系統外對確或不對確的非形式論證,另一方面,邏輯系統成功將非形式論證翻譯成系統內對確或不對確的形式論證。假如被判斷為對確的非形式論證翻譯後變不對確,或者被判斷為不對確的非形式論證確翻譯後變成對確論證,便可能在三個地方出問題:(一)邏輯系統有問題,需要修改邏輯系統;(二)原本的判斷有問題,需要修正原本的判斷;(三)翻譯過程有問題,需要調整翻譯方法。

†乙

(A) 和 (B) 的例子屬第一類,由於我們有強烈直覺認為那它們都是對確論證,所以修改甚至放棄定言三段論系統。第二類例子也不罕見,例如最有名的是其中一種宿命論論證 (argument for fatalism) ,以 Priest (2000) 的版本為例:

(C)
考慮一件關於未來的事:我明天被車子撞死。
要麼我明天有被車子撞死,要麼我明天沒有被車子撞死。
如果是前一個情況,我明天有被車子撞死,便不可能我明天沒有被車子撞死。
如果是後一個情況,我明天沒有被車子撞死,便不可能我明天被車子撞死。
因此,無論是那一個情況,會發生的事都不可能不發生,
換句話說,會發生的事一定會發生。

宿命論論證乍聽之下是個前提皆真的對確論證,但其實是由於前提含有歧義。一旦翻譯成模態邏輯的形式論證,便會發現前提有問題。留意第二步的前提

如果我明天被車子撞死,則不可能我明天沒有被車子撞死

或者是更明顯的

如果我明天被車子撞死,則必然地我明天被車子撞死

這個前提有兩個翻譯方法,假如要將它理解成真前提,便要寫成(「$\Box$」表示「必然」)

$\Box(\text{P}\to\text{P})$

然而,這個前提推不出宿命論的結論,最多只能推論到「必然地,如果某事發生則某事發生」這句邏輯真句。另一方面,若果要得到宿命論的結論,可以將這個前提理解成

$\text{P}\to\Box\text{P}$

但這其實就等於宿命論需要論證的結論「會發生的事都是必然會發生的」,所以,第二個理解底下,宿命論論證將待論證的結論偷放到前提,犯了丐題 (begging the question) 謬誤。(可參考〈從偶然未來到真值隙〉。)

在這類情形,翻譯成模態邏輯的論證後有問題 ── 要麼系統內不對確,要麼直接將結論放到前提 ── 使人回頭修正對非形式論證的評價 ── 要麼將之判斷為系統外不對確,要麼是丐題的論證。好幾個版本的宿命論論證,如 Soames (2003, pp.71-73) ,現時已是經常用來說明模態謬誤 (modal fallacy) 的例子。

†丙

當系統內和系統外的對確性出現差異,一方面可改邏輯系統,另一方面可改原本系統外的判斷,除此以外,尚有一個可能:修改翻譯方法。考慮一個非形式論證

(D)
Somebody is Prime Minister
Somebody is Queen
So, the Prime Minister is Queen.

直覺上這是不對確的論證,可是,若果用羅素的述詞邏輯將它翻譯成

a=b
b=c
/∴ a=c

它便會變成系統內對確的論證。正確的翻譯需要顧及確定描述詞 (definite description) ,忠於文法結構,應該要用「ι

∃x(Fx)∧∃x(Gx)
/∴ ιxFx = ιxGx

這樣翻譯後便不再是系統內對確的論證。

另一方面,有些非形式論證是對確的,例如

(E)
The President signed the treaty with a red pen
So, the President signed the treaty

假如用平常的方式翻譯成一階述詞邏輯,卻會是不對確的

Fa
/∴ Ga

Donald Davidson 認為此時我們不需要修改邏輯系統,而只要修改翻譯方式。在原本的翻譯方法,論域包含的是物件 (object) ,例如「總統」此一物件,但 Davidson 提議將論域所包含的東西改成事件 (event) ,如「總統簽署條約」此一事件。若用半形式的方法表達

∃x(x was a signing of a treaty by a President and x was with a red pen)
/∴ ∃x(x was a signing of a treaty by a President)

其意思是:至少有一個事件,它是總統簽條約的事件,而且是使用紅筆的事件,因此,至少有一個事件是總統簽條約的事件。純形式的表達是:

∃x(Sx∧Rx)
/∴∃x(Sx)

明顯地,這個翻譯在一階述詞邏輯是對確的。假如 Davidson 的提議沒有錯,一階述詞邏輯本來便能處理論證 (E) ,只是我們沒有發現,才誤以為要改邏輯系統。


非形式論證、符號表達、形式論證之間的關係到底如何,除了本身是邏輯哲學的議題,亦牽涉到其他哲學議題。在宿命論的例子,透過恰當的邏輯系統來分析,可更正確的評估宿命論這個形上學立場。在最後的例子,若果採納 Davidson 提議,我們更加有理由相信事件是這個世界的其中一類存有物 (Lowe, 2002, pp.217-218) 。



參考文獻
Haack, Susan (1978). Philosophy of Logics. Cambridge University Press.
Lowe, E. J. (2002). A Survey of Metaphysics. Oxford University Press.
Priest, Graham (2000). Logic: A Very Short Introduction. Oxford University Press.
Soames, Scott (2003). Philosophical Analysis in the Twentieth Century Vol. 2: The Age of Meaning. Princeton University Press.

2 則留言:

  1. 請教一下:符合甚麼條件,才算是「系統」?

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    1. 我說的是邏輯的形式系統,可分幾個意思

      一:形式語言(界定哪些是 wffs )
      二:形式語言 + 證明系統
      三:形式語言 + 語意
      四:形式語言 + 證明系統 + 語意

      以命題邏輯為例
      一:界定 p, q, r,... 等 符號意思的形式語言
      二:形式語言 + 證明系統 (e.g. 自然演繹法/公理證明法)
      三:形式語言 + 語意 (真值表)
      四:形式語言 + 證明系統 + 語意

      你可以將上文指的理解為最完整那一種(四),因為我用的例子都有證明系統和語意,不過即使是(二)也適用。

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