所有X都不是X


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問:是不是符合「所有X都不是X」形式的句子都一律是假的?

答:不是。

(一)

試想像國會通過兩條法案,第一條法案訂明女性沒有投票權,第二條法案訂明有資產的人都有投票權。由於國內有些女性有資產,下例句子於是為真:

所有有投票權的女性都沒有投票權
(或:所有有投票權的女性都不是有投票權的女性)

在這情況,「所有X都不是X」便是真的。

留意,有人可能說,這是因為國家的法例有內部矛盾,但法例有矛盾並不代表這句不為真,反而是在說明這句為甚麼是真的。

此外,即使「所有有投票權的女性都有投票權」同樣為真,也不代表「所有有投票權的女性都沒有投票權」不為真。相反,這兩句一同為真,反倒能解釋為何大家覺得法案有矛盾。

(二)

假設有一個表,表上有兩個句子:

1. 第二句是真的
2. 第一句不是真的

這是說謊者循環(liar cycle)的例子,兩句合在一起,最終會出現悖論。然而,悖論之所以出現,原因正是以下兩點都成立:

如果第一句真,則第一句不是真的
如果第二句真,則第二句不是真的

由此可見,這個表上:

所有真的句子都不是真的

這是另一個「所有X都不是X」會為真的情形。

(三)

數學和邏輯的證明也有相似的例子,比如,有些歸謬法會先任意取一個 x ,並假設

x 有性質 P

由此推論出矛盾,因而得出結論

x 沒有性質 P

這種證明其實可導出一個條件句:

如果 x 有性質 P ,則 x 沒有性質 P

由於 x 是任意取的,所以能進一步推出:

對於所有 x ,如果 x 有性質 P ,則 x 沒有性質 P
(或:所有有性質 P 的都沒有性質 P)

許多人做這種證明時已經接受了「所有X都不是X」為真,只是自己未必有留意到。

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