(∀xLxn→Lon) vs ∀x(Lxn→Lon)

符號邏輯一般會用括號消除歧義,例如

$P∧Q∨R$

在命題邏輯便須加上括號,而且括號的位置還會影響意思:

$(P∧Q)∨R$
$P∧(Q∨R)$

情況好比「隨餐附送湯和咖啡或汽水」可解讀成「隨餐附送(湯和咖啡)或(汽水)」,也可解讀成「隨餐附送(湯)和(咖啡或汽水)」。符號邏輯不容歧義,因此要用括號區辨不同的意思。

括號在述詞邏輯的作用更加微妙,就算下過苦功也很容易走漏眼,例如不少學過述詞邏輯的人乍看之下都以為 ∃x(Px→∀yQy) vs ∃xPx→∀yQy 的意思一樣。

最近從 Peter Smith 的網誌看到另一個例子:

$(∀xLxn→Lon)$
$∀x(Lxn→Lon)$

這兩句同樣貌似有一樣的意思,但其實並非如此。假設世上只有 o 和 n 兩個物件,「$Lon$」為假,但「$Lnn$」為真。


在此模型:

「$Lon$」為假,故「$∀xLxn$」為假,故「$∀xLxn→Lon$」為
「$Lnn→Lon$」為假,故「$∀x(Lxn→Lon)$」為

由此可見「$(∀xLxn→Lon)$」與「$∀x(Lxn→Lon)$」並不等值。

比較特別的是,「$(∀xLxn→Lon)$」和「$∀x(Lxn→Lon)$」原來有對應到日常語言的表達方式。將「$o$」代作 Owen ,「$n$」代作 Nerys ,「$Lxy$」代作 x loves y :

$(∀xLxn→Lon)$
If everyone loves Nerys, then Owen loves Nerys
如果所有人喜歡 Nerys ,則 Owen 喜歡 Nerys
(如果每個東西 x 皆喜歡 n ,則 o 喜歡 n)

$∀x(Lxn→Lon)$
If anyone loves Nerys, then Owen loves Nerys
如果任何一人喜歡 Nerys ,則 Owen 喜歡 Nerys
(對每個東西 x ,如果 x 喜歡 n ,則 o 喜歡 n)

在剛才的模型,只有 Nerys 喜歡自己, Owen 不喜歡她,因此,「所有人喜歡 Nerys」為假,繼而令第一句「如果所有人喜歡 Nerys ,則 Owen 喜歡 Nerys」為真。此外,由於 Nerys 自戀,的確有人喜歡 Nerys (那人就是她自己),可是 Owen 不喜歡 Nerys ,故第二句「如果任何一人喜歡 Nerys ,則 Owen 喜歡 Nerys」為假。

述詞邏輯還有許多句子,只要稍為更動括號的位置,意思便很不一樣。不過,那些情況之中,有不少恐怕都不可以用慣常的自然語言來解釋。

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