條件證法與間接證法

邏輯入門書的自然演繹系統一般都有條件證法 (conditional proof) 和間接證法 (indirect proof) ,可以用來解除 (discharge) 額外加上的假設。不過,這兩個證法其實只需一個就足夠,因為條件證法證明到的東西,間接證法也能證明到;反之,間接證法證明到的,條件證法都可以證到。

我用 Hausman, Kahane & Tidman (2010) Logic and Philosophy: A Modern Introduction (11th) 的系自然演繹系統,語句邏輯總共有 18 條證明規則,以及條件證法和間接證法。


一、間接證法證明到的,條件證法都證明到。 Hausman 的書 (pp. 135-136) 已經有證明,假設已經集齊間接證法所需的前提,只要用條件證法加上約七個步驟,就可得到間接證法的結論。


上圖左側是間接證法的形式,右側是用條件證法來取代間接證法的方式。首先假設 ~p ,推論出矛盾,原本用間接證法即可在第 3 行推論出 p 。若是不用間接證法,也可經由第 3 - 6 行逐漸推論出 p ,到第 7 行用條件證法得出 ~p ⊃ p ,再慢慢簡化成結論 p 。

二、條件證法證明到的,間接證法都證明到。


上圖左側是條件證法的形式。條件證法所推導出來的一律都是條件句,右側是用間接證法來推出條件句。要證明的是:

若集齊條件證法的材料(即,從 p 可推出 q),用間接證法也可推出條件證法的結論(即 p ⊃ q)。

由最早的假定 ~(p ⊃ q) 一定可以推導到第 5 行的 p 。如果這個論證本來可以用條件證法,代表有 p 的情況一定能推導到 q (因此才有齊使用條件證法的材料),所以右側一定能在第 5 行推導出第 6 行的 q ,再推論下去會在第 8 行得到矛盾,使用間接證法便得出結論 p ⊃ q 。

沒有留言:

技術提供:Blogger.