Fitch的可知性悖論(paradox of knowability)

7/19/2013 01:55:00 上午
大多數人都會認同,有些真理實際上尚未有任何人知曉。此外,有些人又認為,所有真理都是原則上可以知道的。乍看之下兩者似乎相容,譬如,實際上沒有人知道 2013 年台大圖書館所有書冊的頁數總和,但我們在原則上似乎還是可以知道究竟有多少頁。 Frederick Fitch 在 1963 年發表 “A Logical Analysis of Some Value Concepts” ,裡面有一個證明,導致後來所謂的「可知性悖論」(又叫做 Fitch’s paradox of knowability )。這個悖論指出,「所有真理都是原則上可以知道」和「有些真理事實上未有人知道」聯合會蘊涵矛盾。

Fitch 的論證使有大量邏輯術語。即使是 SEPWiki 的介紹,也運用了一堆邏輯工具。對邏輯學有一定掌握的人,可以清楚看到整個推論過程,以及推論使用的規則和前提。我打算避用邏輯符號,但至少還要作三個約定,務求盡量減少誤解:一、我用「真命題」代替「真理」,因為後者常帶有人生雋語的意味,但「真命題」無此意味;二、我省掉「原則上可以」,改用「有可能」;三、我會盡量將「我們知道」省略成「知道」,令論證讀起來比較不拗口。

第一步,點明要檢查的兩個宣稱:

(A) 所有真命題都是有可能知道的
(B) 有些真命題還未有人知道

第二步,指出將會使用的推論規則(藍色代表前提,紅色代表結論):

(C) 知道「 p 和 q 」可推論知道 p ,而且,知道 q  
(D) 知道 p 可推論 p  
(Simp) p 而且 q 可推論 p ;此外,  p 而且 q 可推論 q
(Conj) p , q 可推論 p 而且 q  

當中, (Simp) 和 (Conj) 是古典邏輯的規則。 (D) 是根據傳統對「知識」的分析:知識蘊涵真,所以「知道 p 」蘊涵「 p 」(例:「我知道台北有捷運」蘊涵「台北有捷運」)。 (C) 是一條看起來相當可靠的規則,我如果知道「台北有捷運,而且,高雄有捷運」,我便知道「台北有捷運」,又知道「高雄有捷運」。

整個論證分開兩部分,第一部分由 (A) 和 (B) 推論某個命題 p ,第二部分僅使用 (C) 、 (D) 、 (Simp) 和 (Conj) 推論 ∼p 。

第一部分。首先,根據 (B) ,有些真命題尚未被人知道,假定這個未為人知的真命題是 P 。根據假定, P 是真命題,而且(我們)不知道 P 為真。由於 「 P 為真,而且不知道 P 為真」本身也是一個命題,而且是真命題,根據 (A) ,我們有可能知道它,即是──

1. 有可能知道「 P 為真,而且不知道 P 為真」

第二部分,要證明 (1) 的否定,即是要證明,不可能知道「 P 為真,而且不知道 P 為真」。方法是:透過歸謬法,假設我們知道那個複合命題,最終推論出矛盾,所以不可知道那個複合命題。嚴格來說,在古典邏輯裡,假設「 p 」,透過歸謬法證明 p 有矛盾,所推出的結論是「 ∼p 」,而不是「不可能 p 」。但是知態邏輯(epistemic logic)有相應的規則,可以推論出「不可能 p 」,那條規則需要一點邏輯背景才能理解,所以我故意將它略過。

2. 知道「 P 為真,而且不知道 P 為真」(假設,為了做歸謬法)
3. 知道 P 為真,而且,知道不知道 P 為真 (根據2, C)
4. 知道不知道 P 為真(根據3, Simp)留意我一開始已約定:「知道 P 為真」是「我們知道 P 為真」。因此,「知道不知道 P 為真」其實是「我們知道我們不知道 P 為真」。
5. 不知道 P 為真(根據4, D)
6. 知道 P 為真(根據3, Simp)
7. 知道 P 為真,而且,不知道 P 為真(根據6, 5, Conj)

由於 (2) 蘊涵 (7) ,而 (7) 有矛盾,所以 (2) 也有矛盾── (2) 不可能為真。換句話講,這個論證證明 (2) 是不可能的,即是:

8. 不可能知道「 P 為真,而且不知道 P 為真」

很明顯 (1) 和 (8) 互相矛盾。大功告成!


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