11/01/2013 11:48:00 下午

※ 歡迎指正

1. $A↔(A↔A)$ is a tautology. （考古題上有黑點）
2. $((A∧¬B)∨(B∧¬C)∨(C∧¬A))→((A∧B∧C∧D)→(E↔F))$ is a tautology.
3. $A∨(¬((B∧¬D)→(C∧(E∨C)))→(D↔A))$ is a tautology.
4. $A↔¬((B↔(¬(A↔C)↔C))↔B)$ is a tautology.
5. $((A∧B)→C)→(B→(A→(D→C)))$ is a tautology.
6. $((A∨B)→C]→[(D∧¬C)→(A→E))$ is a tautology.
7. $(¬C↔((A∨B)↔C))→((A∧D)→E)$ is a tautology
8. $(P↔Q)∨(P↔R)∨(R↔Q)$ is not a tautology.
9. If $A→(B→(C→D))$ is not a tautology, then $D$ is not a tautology.
10. $A∨(A∧((B∧C)→(D∨E)))$ is equivalent to $A∧(A∨F)$.

1. F
令 $A$ 為假，整句假。
2. T
歸謬法：設整句假，得前件真而後件假，後件假得 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 俱真，但前件也會為假，矛盾。
3. T
歸謬法：設整句假，得 $A$ 假，且選言右側條件句假。得 $¬((B∧¬D)→(C∧(E∨C)))$ 真而 $D↔A$ 假。據後者， $D$ 真。據前者， $B∧¬D$ 真而 $C∧(E∨C)$ 假。由 $B∧¬D$ 真得 $D$ 假，矛盾。
4. T
$φ$ 與 $(B↔φ)↔B$ 等值，因此可透過檢查 $(¬(A↔C)↔C)$ 來檢查 $(B↔(¬(A↔C)↔C))↔B$ 的真假。（整句只剩四個可能，可用真值表檢查。）依相似的道理， $(¬(φ↔C)↔C)$ 與 $¬φ$ 等值，所以 $(¬(A↔C)↔C)$ 與 $¬A$ 等值。因此， $A↔¬((B↔(¬(A↔C)↔C))↔B)$ 的真假值其實與 $A↔¬¬A$ 一樣，後者必定真，故前者也是重言句 (taugology) 。
5. T
歸謬法：設整句假，得後件假， $B$ 、 $A$ 、 $D$ 真而 $C$ 假，因此前件 $(A∧B)→C$ 假，整句真，矛盾。
6. T
歸謬法：設整句假，得後件假， $D$ 、 $¬C$ 與 $A$ 真而 $E$ 假，因此前件假，整句真，矛盾。
7. T
歸謬法：設整句假，前件真而後件假， $A$ 與 $D$ 真而 $E$ 假，得 $A∨B$ 真。無論 $C$ 真還是假， $¬C↔((A∨B)↔C)$ 都為假，前件假，矛盾。
8. F
聯言任何一句如果為假，必定有另一句為真。
9. T
如果 $A→(B→(C→D))$ 不是重言句，代表有可能 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 真而 $D$ 假。 $D$ 可能假，代表它不是重言句。
10. T
設 $A∨(A∧((B∧C)→(D∨E)))$ 假，得 $A$ 假，得 $A∧(A∨F)$ 假。設 $A∨(A∧((B∧C)→(D∨E)))$ 真，若 $A$ 假會使此句也假，故 $A$ 必須真，得 $A∧(A∨F)$ 真。由此可知，兩句同真同假，等值。

1. $A$ is true unless $B$ is false. So $A$ and $B$ cannot be both true.
2. $A$ is false unless $B$ is false. So $A$ and $B$ cannot be both true.
3. $P$ and $Q$ are inconsistent if and only if $P$ and $Q$ have different truth values.
4. $P$ logically implies $Q$ if and only if $P$ logically implies $P→Q$.
5. $P∧R$ logically implies $Q$ if and only if $P$ logically implies $P→Q$ and $R$ logically implies $R→Q$.
6. If $(P∨R)∧S$ implies $Q$ and $S$ does not imply $Q$, then $P$ implies $P→Q$ and $R$ implies $R→Q$.
7. If $A→B$ is a contradiction, then $A$ is a tautology.
8. If $P$ does not imply $Q$, then $P$ must imply $¬Q$.
9. If neither $P$ nor $Q$ is a contradiction, then $P∧Q$ is not a contradiction.
10. If $A$ logically implies $B$, then either $A$ is a contradiction or $B$ is a tautology.
11. If $A$ is inconsistent with $B$ while $B$ is consistent with $C$, then $A$ is inconsistent with $C$.
12. If $A$ and $B$ are inconsistent, then $¬A$ implies $B$.
13. If $A$ and $B$ are consistent and $A$ and $C$ are consistent, then $B$ and $C$ must be consistent.
14. If $P$ and $S$ are consistent and $S$ and $Q$ are inconsistent, then $P$ cannot imply $Q$.
15. Suppose $A$ is contingent. If $A$ and $B$ are inconsistent and $A$ and $C$ are inconsistent, then $B$ and $C$ must be inconsistent.
16. If $P$ is not logically equivalent to $Q$, then $P$ is logically equivalent to $¬Q$.

1. F
$A$ is true unless $B$ is false ≡ $A$ is true or $B$ is false.
「$A$ is true and $B$ is true」與「$A$ is true or $B$ is false」可同時成立。
2. T
$A$ is false unless $B$ is false ≡ $A$ is false or $B$ is false.
3. F
令 $P$ 為「所有東西都是狗」、 $Q$ 為「所有東西都不是狗」，兩者不一致，但可同假。
4. T
左至右：設 $P$ 邏輯蘊涵 $Q$ 。假定 $P$ 為真，則 $Q$ 為真，則 $¬P∨Q$ 為真，於是 $P→Q$ 為真。 $P$ 邏輯蘊涵 $P→Q$ 。
右至左：設 $P$ 邏輯蘊涵 $P→Q$ 。假定 $P$ 為真，則 $P→Q$ 為真，則 $Q$ 也為真。 $P$ 邏輯蘊涵 $Q$ 。
5. F
令 $P$ 為簡單語句 (simple sentence) ，故它有真有假。令 $R$ 為 $¬P$ ，令 $Q$ 等於 $P$ 。由此可見， $P∧R$ (即 $P∧¬P$) 蘊涵 $Q$ (即 $P$) ，但 $R$ (即 $¬P$) 沒有蘊涵 $P$ 。
6. F
令 $P$ 與 $R$ 皆為「草是綠的」、$S$ 為「人有雙足」、$Q$ 為「草是綠的且人有雙足」。 $(P∨R)∧S$ 蘊涵 $Q$ ，但 $S$ 不蘊涵 $Q$ ， $P$ 不蘊涵 $P→Q$ ，而 $R$ 也不蘊涵 $R→Q$。
7. T
若 $A→B$ 為矛盾句，則必定 $A$ 真而 $B$ 假。
8. F
令 $Q$ 為簡單語句，故它有真有假，而 $¬Q$ 也會有假有真。令 $P$ 為重言句 (tautology) ，必定真。由於 $Q$ 與 $¬Q$ 皆有假，所以會有 $P$ 真而 $Q$ 假，也會有 $P$ 真而 $¬Q$ 假的情況，故 $P$ 兩者皆不蘊涵。
9. F
令 $P$ 為簡單語句， $Q$ 為 $¬P$ ，得 $P∧Q$ (即 $P∧¬P$) 為矛盾句。
10. F
令 $A=B$ ，為簡單語句，簡單語句俱非矛盾亦非重言，但 $A$ 依然蘊涵 $B$ ，因為所有語句皆蘊涵自己。
11. F
令 $A$ 為「所有人皆會死」， $B$ 為「有些人不會死」，兩者不一致。令 $C$ 為「有綠色的蘋果」，它可與 $B$ 同真，也可與 $A$ 同真。
12. F
令 $A$ 為「所有東西都是綠色的」， $B$ 為「所有東西都不是綠色的」，兩者不一致。但「有些東西不是綠色的」不蘊涵「所有東西都不是綠色的」，故 $¬A$ 不蘊涵 $B$ 。
13. F
令 $A$ 為「所有人皆會死」， $B$ 為「有些綠色的蘋果」， $C$ 為「有些人不會死」。 $A$ 與 $B$ 一致， $B$ 與 $C$ 一致，但 $A$ 與 $C$ 不一致。
14. T
由於 $P$ 與 $S$ 一致，有一可能情況 $P$ 與 $S$ 俱真。但因 $S$ 與 $Q$ 不一致，在此情況 $Q$ 必為假。故有一可能情況， $P$ 真而 $Q$ 假； $P$ 不可能蘊涵 $Q$ 。
15. F
令 $A$ 為「有東西是綠色的蘋果」， $B$ 為「沒有東西是綠色的」， $C$ 為「沒有東西是蘋果」，雖然 $A$ 與 $B$ 不一致，也與 $C$ 不一致，但 $B$ 與 $C$ 仍可同真。
16. F
令 $P$ 為「人有雙足」、 $Q$ 為「貓有鬍子」，兩者不等值。而「人有雙足」與「貓沒有鬍子」也不等值。（考慮 $P$ 、 $Q$ 皆有四行真值表， $P$ 有三行真一行假， $Q$ 有兩行真兩行假，如此一來 $P$ 與 $Q$ 不等值，與 $¬Q$ 也不等值。）

1. If some $P$ are $Q$ and some $Q$ are $S$, then some $S$ are not $P$.

1. F
反例：有些動物是哺乳類，有些哺乳類是人類，但沒有人類不是動物

1. $Paba↔Pbab$ logically implies $a=b$.
2. $∀x(Px→Rx)$ is logically equivalent to $∀xPx→∀xRx$.

此題有變型：
$∀x(Px→Qx)$ is logically equivalent to $∀xPx→∀xQx$.

3. $∀x(Px∨Qx)$ is logically equivalent to $∀xPx∨∀xQx$.

此題有變型：
$∀x(Ax∨Bx)$ is logically equivalent to $∀xAx∨∀xBx$.

4. $∃x(Px↔Rx)$ is logically equivalent to $∃xPx↔∃xRx$.
5. $∃x(∀yPy→Rx)$ is logically equivalent to $∀yPy→∃xRx$.

1. F
反例：論域$=\{1,2\}$ $P=\{<1,2,1>, <2,1,2>\}$ $I(a)=1$ $I(b)=2$ (因此$a≠b$)
2. F
反例：論域$=\{a,b\}$ $P=\{a\}$ $R=\{\}$
3. F
反例：論域$=\{a,b\}$ $P=\{a\}$ $Q=\{b\}$
4. F
反例：論域$=\{a,b\}$ $P=\{a\}$ $R=\{\}$
5. T

1. Let $R$ be a binary predicate. Then $a=b$ whenever $Rab↔Rba$ is the case.
2. Let $R$ be a binary predicate. Then $Rab$ logically implies $Rba$.
3. If $∃x∃y(Px∧Py)$ is true in a model, then the domain of that model must contain at least two members.

此題有變型：
1. If $∃x∃y(Px∧Ry)$ is true in a model then there are at least two different objects in the domain of that model.
2. If $∃x∃y(Px∧Py)$ is true in a model, then the domain of that model must contain at least two members.

1. F
$Rxy$ 可為二位述詞「$x$ 不等同 $y$」。
2. F
$Rxy$ 可為二位述詞「$x$ 比 $y$ 高」
3. F
未規定 $x$ 與 $y$ 是否不等同，在論域只有一個 $a$ 而 $Pa∧Pa$ 為真的模型， $∃x∃y(Px∧Py)$ 依然為真。

1. Predicate symbols are logical symbols.
2. Two different predicates must have different interpretations (extensions).
3. The interpretation of a predicate cannot be an empty set .
4. If $c$ and $c'$ are different constants, then the interpretation of $c$ and the interpretation of $c'$ cannot be the same.
5. Suppose $x$ does not occur free in $φ$ (that is, $x$ is not a free variable in $φ$). Then we can infer $∀xφ$ from $φ$.

1. F
2. F
3. F
4. F
5. T

1. A valid argument cannot have false premises.
2. If an argument is valid, then it is sound.
3. An argument can have true premises and a true conclusion and yet may not be logically valid.
4. If the conclusion of an argument is a contradiction, then that argument is invalid.
5. If we add a new premise to an invalid argument, the resulting argument will still be invalid.
6. If we add a new premise to a valid argument, the resultant argument may be invalid

1. F
「小明是人而且小明不是人，因此小明是人」。此為有效論證，但前提必定假。
2. F
sound argument = valid argument + all premises are true. 例子同 1 。
3. T
「雪是白的，因此草是綠的」。此論證有可能前提真而結論假。
4. F
如果前提為矛盾句，即使結論不可能真，整個論證依然為有效論證。
5. F
令原論證為「小明是男人，所以小明愛吃糖果」。在前提加上「小明愛吃糖果」，得出的論證「小明愛吃糖果，而且小明是男人，所以小明愛吃糖果」為有效論證。
6. F
令「$p$ 因此 $q$」為有效論證，據定義，必然地如果 $p$ 真則 $q$ 也真。現加上語句 $r$ 充當前提，得出「$r, p$ 因此 $q$」。必然地，假如前提 $r$ 與 $p$ 真，代表 $p$ 真，由於「$p$ 因此 $q$」為有效論證，故 $q$ 也為真。由此可知「$r, p$ 因此 q$」亦為有效論證。 處境題： 1. Suppose that most philosophers are truth-pursuers and that most truth-pursuers are smart. Then we can conclude that most philosophers are smart. 2. If every woman loves some man, then every woman loves some man who loves her. Hence no woman can love some man who does not love her. 3. Consider the domain which consists of six persons, including three males, A, B and C, and three females D, E and F. Suppose that A loves C, D loves F, B loves E, C loves D and A loves himself. Let Lxy stand for “x loves y”, Mx for “X is a man” and Wx for “x is a woman”. Which of the following formulas are true in this domain. 1.$∀x(Mx→¬∃yLxy)$2.$∃x∃y(Lxy∧∃z(Lyz∧¬Lzz)$3.$∀x(∃y(Lxy→¬Lyx))$（原題目 “¬Lyx” 的 “y” 沒有被拘束，該是筆誤。） 4.$∃x(Wx∧∃y(Lxy∧∀z(Mz→¬Lzy)))$4. Assume that exactly only one of the following two statements is true. 1. If Kant is right, then philosophy improves our life. 2. If Kant is not right, then philosophy improves our life. Based on this assumption, please answer the following two questions with a simple “Yes” or “No” 1. Does philosophy improve our life? 2. Is it true that if philosophy improves our life, then Kant is right? 5. 此題有變型： 1. Suppose only one of the following two sentences is true: (1) Kant is right, then pigs can fly; (2) If Kant is not right, then pigs can fly. Hence it is true that if pigs can fly, then Kant is right (Assume that the conditional here is material). 2. Assume that only one of the following two sentences is true: (1) Pigs can fly unless Kant is not right; (2) Kant is not right only if pigs can fly. Based on this assumption, it is true that if pigs can fly, then I will cry. 試答 1. F 暫定 “most” 的標準為 ≥70% ，假定 70% 哲學家是真理追求者，而 70% 真理追求者是聰明人，得 49% 哲學家是聰明人，不符合 “most” 的標準。 2. F 設每個女人都愛兩個男人，一個男人愛她，一個男人不愛她。 “If every woman loves some man, then every woman loves some man who loves her” 為真，但 “no woman can love some man who does not love her” 為假。 3. i ： F ； ii ： T ； iii ： T ； iv ： T 。 [藍色代表男人 (Mx) ，橙色代表女人 (Wx) ，紫色線代表「...愛...」 (Lxy) ，箭頭所指代表 “Lxy” 中的 “y” ] 1.$∀x(Mx→¬∃yLxy)$：每個男人都沒有愛人。，因為 A 、 B 、 C 都有愛人。 2.$∃x∃y(Lxy∧∃z(Lyz∧¬Lzz)$：有個$x$有個$y$，$x$愛$y$而且至少有個$z$，$y$愛$z$但$z$不愛$z$。， A 愛 C ，而 C 愛 D ，且 D 不愛 D 。 3.$∀x(∃y(Lxy→¬Lyx))$：對每個人，若他／她有愛人，則他／她至少愛一個不愛他／她的人。， A 愛 C ， B 愛 E ， C 愛 D ， D 愛 F ，全都不是雙向。 4.$∃x(Wx∧∃y(Lxy∧∀z(Mz→¬Lzy)))\$ （太長，譯中文只累事）。， D 是女人，她愛 F ，而且所有男人都不愛 F 。

4. i ： F ； ii ： T 。
關於 i ：條件句整句為假，代表（前件真而）後件假。 1 和 2 其中一句為假，代表它們的後句 “philosophy improves our life” 無論如何都為假。
關於 ii ：條件句前件假，代表不是前件真，進而代表不是前件真而後件假，即不是整句假。由 i 已知 “philosophy improves our life” 假，故 “if philosophy improves our life, then Kant is right” 為真。

1. Suppose that the dress code of the philosophy department is that if one wears a white sock on one foot, she/he must wear a black sock on the other. If you are our department chair who always wants to make sure that no student violates that dress code, what will you do respectively in the following two cases?
1. You see a student wearing a black sock on one foot
2. You see a student wearing a green sock on one foot.
1. i ： Don't need to check this student. ； ii ： Check if she/he wears a white sock on other foot. If so, she/he violates the rule: wears a white sock on one foot while not wearing a black sock on the other 。
這是 Wason Selection Task 。要檢查學生有沒有違反 “if one wears a white sock on one foot, she/he must wear a black sock on the other” ，其實只要檢查學生有沒有同時使前件真（一隻腳穿白襪）和後件假（另一隻腳沒穿黑襪）。通常大家只留意前件真，檢查後件是否假，而忽略後件假，其實也可檢查前件是否真。