反 n-值邏輯論證

古典邏輯的真假值只有兩個,就是真 (truth) 和假 (falsity) 。多值邏輯顧名思義,就是真假值多於兩個的邏輯系統。真假值的數目有限多的叫做有限多值邏輯,無限多則叫做無限多值邏輯,三值邏輯便是其中一種有限多值邏輯。

研究邏輯的一個目的是要找出好的推論,這個「好」是甚麼意思,倒不容易說清楚。在古典邏輯,好推論的標準是邏輯蘊涵。邏輯蘊涵的推論能夠將前提某個特質傳遞到結論。在古典邏輯,這個特質是「真值」,因此古典邏輯的邏輯蘊涵又叫做真值保存 (truth preservation) :假如前提都是真的,前提所邏輯蘊涵的結論也必定是真的。想透過邏輯蘊涵,經由前提傳遞到結論的值,叫做指定值 (designated value) 。因此,我們又可以說古典邏輯的指定值是「真值」。在多值邏輯,指定值未必只限於真值,但往往不會包含假值。

我最近從 Graham Priest 的 An Introduction to Non-classial Logic (2nd, p. 127) 看到一個反對有限多值邏輯的論證。這個反多值邏輯論證,嚴格來說,反對的是符合兩個條件的多值邏輯。這兩個基本條件分別是:

(i). 如果 $A$ 是指定值,則 $A∨B$ 也是指定值。
(ii). 如果 $A$ 和 $B$ 的真假值一樣, $A≡B$ 會是指定值。

假如用「真值」來理解「指定值」,這兩個條件似乎十分合理。第一個條件說:如果「$A$」是真的,那麼「$A$ 或 $B$」也是真的。第二個條件說:如果「$A$」和「$B$」的真假值一樣,那麼「$A$ 若且唯若 $B$」便是真的。正如先前所說,多值邏輯的指定值未必限於真值,但往往不包括假值。第一個條件其實是說「$A$」邏輯蘊涵「$A$ 或 $B$」。第二個條件會有一個後果:如果 $A$ 和 $B$ 的真假值一樣, $A≡B$ 不會是假的(因為指定值不包括假值)。

假設有一套 n-值邏輯符合 (i) 和 (ii) 兩個條件, Priest 提到的論證要顯示這套 n-值邏輯有奇怪的後果,無論 n 是多少(譬如 3-值邏輯、 4-值邏輯、 5-值邏輯)。

第一步,考慮 n+1 個簡單語句,比如 $S_1, S_2, ..., S_n, S_{n+1}$ 。由於這套邏輯只有 n 個真假值,這堆語句之中至少有兩句會有一樣的真假值。假設擁有一樣真假值的語句是 $S_j$ 和 $S_k$ ,根據條件 (ii) , $S_j≡S_k$ 會是指定值(例如,會是真的)。從那堆簡單語句裡任取兩句,都可以組成一個「若且唯若」的句子,例如「$S_1≡S_2$」、「$S_1≡S_3$」、「$S_2≡S_3$」。將全部組合列出

$S_j≡S_k$
$S_1≡S_2$
$S_1≡S_3$
$S_2≡S_3$

再做選言,會出現很長的複合語句

$(S_j≡S_k)∨(S_1≡S_2)∨(S_1≡S_3)∨(S_2≡S_3)∨...$

根據條件 (i) ,這個很長的複合句也是指定值(例如,是真的)。

可是這個結果與常識有衝突。試考慮「小蕭有 1 條頭髮」、「小蕭有 2 條頭髮」…「小蕭有 n 條頭髮」、「小蕭有 n+1 條頭髮」等總共 n+1 個語句。將這些組合列出

小蕭有 j 條頭髮,若且唯若,小蕭有 k 條頭髮
小蕭有 1 條頭髮,若且唯若,小蕭有 2 條頭髮
小蕭有 1 條頭髮,若且唯若,小蕭有 3 條頭髮
小蕭有 2 條頭髮,若且唯若,小蕭有 3 條頭髮

顯然,沒有人可以同時有 $j$ 條頭髮又有 $k$ 條頭髮(已知 $j≠k$),所以每個「若且唯若」的句子都是假的,不會是指定值。這些組合的選言

(小蕭有 j 條頭髮,若且唯若,小蕭有 k 條頭髮)
∨(小蕭有 1 條頭髮,若且唯若,小蕭有 2 條頭髮)
∨(小蕭有 1 條頭髮,若且唯若,小蕭有 3 條頭髮)
∨(小蕭有 2 條頭髮,若且唯若,小蕭有 3 條頭髮)
∨......

也是假的,不會是指定值。符合 (i) 和 (ii) 的 n-值邏輯斷言它不是假的,違反常識,因此是錯的。相似的論證可以用在所有符合 (i) 和 (ii) 的 n-值邏輯,所以,所有符合 (i) 和 (ii) 的 n-值邏輯都是錯的。
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