古典語句邏輯的「語意後果」和「語法後果」

8/03/2014 06:35:00 下午
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形式邏輯是人工語言。與自然語言一樣,形式邏輯規定哪些記號是合規式(wff, 合乎文法規則的記號),哪些不是。合規式有語意和語法兩個面向。在古典語句邏輯裡,只有語句是合規式,這些合規式的語意就是與真假值相關的部分,而語法則是合規式非語意的部分。這個定義參考 Hunter (1971, p. 9) 。

古典語句邏輯的文法規則特別簡單,只有四條
  1. 所有簡單語句 $P_1, P_2, P_3, ..., P_n$ 都是合規式(為方便, $P, Q, R, ... Z$ 都當成合規式)
  2. 如果 $ϕ$ 是合規式,則 $(∼ϕ)$ 也是合規式
  3. 如果 $ϕ$ 和 $ψ$ 是合規式,則 $(ϕ∧ψ)$ 、 $(ϕ∨ψ)$ 、 $(ϕ→ψ)$ 、 $(ϕ↔ψ)$ 也是合規式
  4. 只有符合 (I) - (III) 的記號才是合規式
古典語句邏輯利用詮釋(interpretation)來界定合規式的語意。但這「詮釋」並不是日常的意思,而是函數(function),負責將真假值分派給語句。古典語句邏輯的每一個詮釋都必須符合兩點:
  1. 派真值或假值給每個簡單語句(但不會派兩個值給同一個簡單語句)
  2. 派給複合語句的值完全取決於主要連詞及其組成成分的值:
    1. 派真值給 $(∼ϕ)$ ,若且唯若,派假值給 $ϕ$
    2. 派真值給 $(ϕ∧ψ)$ ,若且唯若,派真值給 $ϕ$ 並且派真值給 $ψ$
    3. 派真值給 $(ϕ∨ψ)$ ,若且唯若,派真值給 $ϕ$ 或者派真值給 $ψ$
    4. 派真值給 $(ϕ→ψ)$ ,若且唯若,派假值給 $ϕ$ 或者派真值給 $ψ$
    5. 派真值給 $(ϕ↔ψ)$ ,若且唯若,派給 $ϕ$ 的值和派給 $ψ$ 的值一樣
換個嚴謹點的方式表達。令 $\upsilon$ 為任意一個古典語句邏輯的詮釋,
  1. 對於每個簡單語句 $φ$ , $\upsilon(φ)=\text{T}$ 或 $\upsilon(φ)=\text{F}$ (但不會同時 $\upsilon(φ)=\text{T}$ 且 $\upsilon(φ)=\text{F}$ )
    1. 對於每個語句 $(∼ϕ)$ ,$\upsilon(∼ϕ)=\text{T}$ 若且唯若,$\upsilon(ϕ)=F$
    2. 對於每個語句 $(ϕ∧ψ)$ , $\upsilon(ϕ∧ψ)=\text{T}$ ,若且唯若, $\upsilon(ϕ)=\upsilon(ψ)=\text{T}$
    3. 對於每個語句 $(ϕ∨ψ)$ , $\upsilon(ϕ∨ψ)=\text{T}$ ,若且唯若, $\upsilon(ϕ)=\text{T}$ 或 $\upsilon(ψ)=\text{T}$
    4. 對於每個語句 $(ϕ→ψ)$ , $\upsilon(ϕ→ψ)=\text{T}$ ,若且唯若, $\upsilon(ϕ)=\text{F}$ 或 $\upsilon(ψ)=\text{T}$
    5. 對於每個語句 $(ϕ↔ψ)$ , $\upsilon(ϕ↔ψ)=\text{T}$ ,若且唯若, $\upsilon(ϕ)=\upsilon(ψ)$
以 $(P∧Q)$ 來說,它的真假值完全由 $P$ 的值、 $Q$ 的值,以及連詞 $∧$ 決定。派真值給 $P$ 和 $Q$ 的詮釋,也會派真值給 $(P∧Q)$ ;派假值給 $P$ 和 $Q$ 的詮釋,會派假值給 $(P∧Q)$ ;派一真一假給 $P$ 和 $Q$ 的詮釋,同樣會派假值給 $(P∧Q)$ 。

負責分派真假值的詮釋非常多。古典語句邏輯的合規式數目是 $א$ ,因此詮釋的數目是 $2^א$ 。

有些語句是偶真句,不是必然真,也不是必然假。 $(P∧Q)$ 便是偶真句的例子,一些詮釋派真值給它,一些詮釋派假值給它。有些語句是必真句,所有詮釋都會派真值給它,例如 $(P→P)$ 。相反,有些語句是必假句,所有詮釋都派假值給它,如 $(P∧∼P)$ 。

語句之間的真假值可能彼此牽連。比如,派真值給 $(P∧Q)$ 的詮釋都會派真值給 $P$ 。但派真值給 $P$ 的詮釋,卻不是全都派真值給 $(P∧Q)$ 。假使我們將任意數目的語句放在 $\Gamma$ 裡面,再另外考慮一個語句 $\theta$ 。我們便可定義「語意後果」(semantic consequence):

$\Gamma ⊨ \theta$ ($\theta$ 是 $\Gamma$ 的語意後果/ $\Gamma$ 語意蘊涵 $\theta$)
$=_{df}$ 每個分派真值給 $\Gamma$ 所有成員的詮釋都分派真值給 $\theta$
$=_{df}$ 沒有詮釋既分派真值給 $\Gamma$ 所有成員,又分派假值給 $\theta$

以 $(P∧Q)$ 和 $P$ 為例,當 $\Gamma$ 的成員就是 $(P∧Q)$ ,而 $\theta$ 是 $P$ ,這便符合語意後果的定義,因此

$\{P∧Q\} ⊨ P$

但反過來就不成立

$\{P\} ⊭ (P∧Q)$

因為有詮釋分派真值給 $P$ ,卻派假值給 $(P∧Q)$ (派假值給 $Q$ )。

比較特殊的是 $\Gamma$ 沒有任何成員的成況,即是, $\Gamma$ 是空集合的情況。無論是不是空集合,詮釋分派真假值給集合成員的情況只有兩種
  1. 所有集合裡面的合規式都分派到真值
  2. 至少有一個合規式在集合裡面,但沒有分派到真值
當 $\Gamma$ 是空集合,第二種情況不可能出現(因為 $\Gamma$ 裡面沒有合規式,自然沒有合規式既在 $\Gamma$ 裡面又沒有分派到真值),所以自動歸入第一種。因此,假如 $\Gamma$ 是空集合,而

$\Gamma ⊨ \theta$

又成立,那便代表所有詮釋都分派真值給 $\theta$ 。換句話說,  $\theta$  是套套邏輯(tautology,古典語句邏輯的必真句)。不少邏輯書例如 Bostock (1997, pp. 11-12) 。會寫成

$⊨ \theta$(即 $\varnothing ⊨ \theta$)

我們為甚麼關心語句之間的真假值關係?最簡單的答案是:我們關心推論。我們經常做推論,經常使用一些語句作為前提,推導特定的結論,因此也關心推論的前提假如都為真,結論會否一併為真。試考慮一個簡化過的例子

論證A
1. 政猿不是在撞選民,就是在盗圖
2. 政猿沒有在撞選民
─────────────────────────────
因此,3. 政猿在盗圖

在語句邏輯,這推論可以表達成

論證B
1. $P∨Q$
2. $∼P$
─────────────────────────────
/ ∴ 3. $Q$ (DS, 1,2)

由於派真值給全部前提的詮釋都派真值給結論, $Q$ 是 $(P∨Q)$ 和 $∼P$ 的語意後果。換言之,

$\{P∨Q, ∼P\} ⊨ Q$

與「語意後果」相映照的概念是「語法後果」(syntactic consequence)。在語意方向,語句邏輯的詮釋分派真假值給語句。在語法方面,語句邏輯除了有規定哪些是合規式的文法,還有證明系統(proof-system,推論系統、推導系統)。證明系統故名思意就是針對推論的系統。古典語句邏輯有許多證明系統,當中最為常見的四個類型分別是自然演繹證明法(natural deduction proofs)、樹枝證明法(tree/tableau proofs)、公理證明法(axiomatic proofs),以及序列證明法(sequent proofs)。論證 B 便是自然演繹法的例子。然而,即使屬同一類證明法,各邏輯書採用的寫法也未必一樣,這四類不過是大體上的分類。

若不區分證明系統,用最粗略的講法,「語法後果」的定義是

$\Gamma ⊢ \theta$ ($\theta$ 是 $\Gamma$ 的語法後果/ $\Gamma$ 語法蘊涵 $\theta$)
$=_{df}$ $\Gamma$ 可推導出 $\theta$

到底怎樣才算是「 $\Gamma$ 可推導出 $\theta$」,四類系統的定義都不一樣。常見的界定大致上是:

自然演繹證明法
$\Gamma ⊢ \theta$
$=_{df}$ 有一個合規式串,其最後一個合規式是 $\theta$ ,而這個串的每個合規式都是 (i) $\Gamma$ 的成員,或 (ii) 由先前合規式透過推導規則得來的。

樹枝證明法
$\Gamma ⊢ \theta$
$=_{df}$ 有一個完整而閉合的樹枝圖,其初始列(僅)包含 $\Gamma$ 的所有成員和 $∼\theta$ 。見於 Priest (2008, p. 8) 。

公理證明法
$\Gamma ⊢ \theta$
$=_{df}$ 有一個合規式串,其最後一個合規式是 $\theta$ ,而這個串的每個合規式都是 (i) 公理,或 (ii) $\Gamma$ 的成員,或 (iii) 由先前合規式透過推導規則得來的。見於 Hunter (1971, pp. 74-75) 。

序列證明法
$\Gamma ⊢ \theta$
$=_{df}$ 有一個序列串,其最後一個序列是 $\Gamma ⇒ \theta$ ,而它裡面個序列都是 (i) $φ⇒φ$ 或 (ii) 由先前序列透過推導規則得來的。見於 Sider (2010,§2.5.3, pp. 42-43) 。

四類系統都提到「推導規則」,但四類系統的推導規則都不一樣。

自然演繹證明法沒有公理,推導規則較多,一般有二十條左右。所有證明法裡面,以自然演繹法最貼近人類思考的模式:列出前提,再透過各式各樣的規則逐步推導結論。

樹枝證明法同樣沒有公理,推導規則一般比自然演繹法還要少幾條。樹枝證明法以樹枝發散的圖像呈現推論,最終能將合規式拆至簡單語句或簡單語句的否定句,保證規則用完必能判斷前提能否推導結論。(但古典語句邏輯以外的系統未必有此保證,比如古典述詞邏輯和模態邏輯便可能出現無限樹枝圖(infinite tableaux),永遠不能將規則用完。)

公理證明法通常有三個公理(axioms)和一條推導規則肯定前項(modus ponens)。由於規則較少,許多時候證明後設定理都比較省時,有些邏輯書因而選用公理證明法教後設證明。

序列證明法裡面最小的單位是序列,而每個序列都代表一個推論。序列證明法的推導規則是由一個序列(推論)推導另一個序列(推論)的規則。

論證 B 符合自然演繹法的語法後果的定義,又可寫成

$\{P∨Q, ∼P\} ⊢ Q$

可是,這不代表我們任意將合規式排列,都會是古典語句邏輯證明系統的推論。證明系統的推論除了排列合規式,還要符合證明法裡面的條件。例如論證 C 就不符合條件。

論證C
1. $P∨Q$
2. $P$
─────────────────────────────
/ ∴ 3. $Q$ 

它想寫成自然演繹法,但 3 既不是前提($\Gamma$ 的成員),也無法透過自然演繹法的推導推論從先前的合規式(即 1, 2)得來。

證明論證 C 的結論不是前提的語意後果一點也不吃力,只要檢查有沒有詮釋能派真值給 $(P∨Q)$ 和 $P$ ,同時派假值給 $Q$ 。但要怎樣證明論證 C 的結論不是前提的語法後果?要證明這點必須證明前提不可推導出結論。但在某些證明系統這是十分難做到的。例如,要證明某些前提不能在自然演繹法裡推導結論,就要證明所有合規式串(所有自然演繹推論)都不符合上述的條件。但我們不可能寫出所有合規式串,再逐個檢查。(就算有無限生命無限體力無限墨水我也不要做這種蠢事。)讀過基礎邏輯的人應該知道,要證明論證 C 的前提無法推導出結論,只需要證明論證 C 的前提沒有語意蘊涵結論。因為古典語句邏輯有一條定理保證

如果 $\Gamma ⊢ \theta$, 則 $\Gamma ⊨ \theta$

換言之,證明 $\Gamma ⊭ \theta$ 就證明 $\Gamma ⊬ \theta$ 。這條定理叫做妥當性定理(soundness theorem)。與之相對的是完備性定理(completeness theorem,或語意完備性定理)

如果 $\Gamma ⊨ \theta$ , 則 $\Gamma ⊢ \theta$

有時候我們很難用規則由前提逐條推導到結論,但卻可輕易證明所有派真值給前提的詮釋都派真值給結論。有完備性定理,只要證明 $\theta$ 是 $\Gamma$ 的語意後果,即使未想怎樣用規則從前提推導結論,也已證明 $\Gamma$ 可推導 $\theta$ 。語意完備性不同於語法完備性。參見 Hunter (1971, p. 113, 116) 。此處所寫的兩個定理分別又叫「強妥當性定理」(strong soundness theorem)和「強完備性定理」(strong completeness theorem) 。另有「弱妥當性定理」(weak soundness theorem)和「弱完備性定理」(weak completeness theorem),分別是


弱妥當性定理:如果 $⊢ \theta$, 則 $⊨ \theta$
弱完備性定理:如果 $⊨ \theta$ , 則 $⊢ \theta$

弱版是強版的特列,是強版的 $\Gamma$ 為空集的情況。




參考文獻
Bostock, David (1997). Intermediate Logic. Oxford University Press.
Hunter, Geoffrey (1971). Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First Order Logic. Berkeley,University of California Press.
Graham Priest (2008). An Introduction to Non-Classical Logic: From If to Is. Cambridge University Press.
Sider, Theodore (2010). Logic for Philosophy. Oxford University Press.
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