條件句與邏輯蘊涵

8/07/2014 12:19:00 上午

via here

古典邏輯的質料條件句(→)和邏輯蘊涵(語意後果,⊨)關係非常密切,以致有不少人將條件句和邏輯蘊涵當成同一回事,但兩者其實有很大分別。


首先,在古典邏輯,「p 邏輯蘊涵 q」的意思是

(1). 對於所有詮釋 $\mathfrak{I}$,如果 $\mathfrak{I}$ 使 p 為真,則 $\mathfrak{I}$ 使 q 為真

這可寫成「p ⊨ q」。

再者,古典邏輯有一條「橋」,接通邏輯蘊涵「p ⊨ q」和條件句「p→q」:

(2). p ⊨ q 若且唯若 p→q 是必真句我不喜「套套邏輯」,故用「必真句」表示 tautology 。

此處所謂的「p→q 是必真句」,根據定義,即是

(3). 對於所有詮釋 $\mathfrak{I}$ , $\mathfrak{I}$ 使 p→q 為真

換句話說, (2) 接通 (1) 和 (3) 。有了這條橋, (1) 和 (3) 只會一起成立或一起不成立。就是這條橋令人以為必真的條件句和邏輯蘊涵沒有分別。


不過,條件句和邏輯蘊涵始終是兩回事。最根本的原因是,「⊨」是後設語言的符號,而「→」是對象語言的符號。試設想有一部電腦,只可以輸入古典邏輯的合規式(wff)。我們可以在這部電腦輸入

P, ∼P, ∼Q, P∧Q, ~P∨Q, P→(P∧Q), P∧∼(Q→∼Q), ......

但就不能輸入

P ⊨ Q

因為「⊨」壓根兒不是古典邏輯這套語言裡的符號。情況好比要在算盤輸入「10 > 9」,「10」和「9」是算盤可以處理的符號,「>」不是。

這個區分在古典述詞邏輯已甚重要,要學非古典邏輯更是不可不懂,因為 (2) 那條橋在某些非古典系統根本搭不成。


以三值邏輯 $K_3$ 為例。「邏輯蘊涵」在 $K_3$ 的定義和古典邏輯一樣,但條件句 p→q 的真值表與古典邏輯的不同,因為 $K_3$ 多了真(1)和假(0)以外的 i 值。

$K_3$ 的 $p\to q$

這套系統沒有必真句(邏輯真理),連 P→P 也不例外。 $K_3$ 有詮釋使 P 的值為 i ,繼而使 P→P 的值也是 i ──為 i 即不為真──於是, P→P 並非在每個詮釋底下都為真。故此,

對於所有詮釋 $\mathfrak{I}$ , $\mathfrak{I}$ 使 P→P 為真

不成立。然而, P ⊨ P 卻依然成立,因為「P ⊨ P」的意思是

對於所有詮釋 $\mathfrak{I}$,如果 $\mathfrak{I}$ 使 P 為真,則 $\mathfrak{I}$ 使 P 為真

「P ⊨ P 不成立」代表有詮釋使 P 為真又不使 P 為真,但這在 $K_3$ 是不可能的。由此可知, $K_3$ 的邏輯蘊涵和必真的條件句是兩回事。


出現這種情況,歸根究柢是因為「→」和「⊨」是兩個不同的概念。古典邏輯剛好有橋連結兩者,其他邏輯就未必有這條橋。



備註

兩個通式陳構
  1. 邏輯蘊涵(語意後果)的定義:
    $\Gamma ⊨ q$ $=_{df}$ 對於所有詮釋 $\mathfrak{I}$,如果 $\mathfrak{I}$ 使 $\Gamma$ 所有成員為真,則 $\mathfrak{I}$ 使 $q$ 為真
  1. 連結條件句與邏輯蘊涵的橋:令 $\Gamma$ 的成員是 $p_1, p_2, p_3, ..., p_n$ ,
    $\Gamma ⊨ q$ 若且唯若 $(p_1∧p_2∧p_3∧...∧p_n)→q$ 是必真句

技術提供:Blogger.