矛盾蘊涵一切

7/05/2015 01:13:00 上午

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學邏輯想必都聽過一句話:矛盾蘊涵一切。這句話的意思是,矛盾的述句蘊涵任何述句。以 p, q 為任意兩個述句,其形式是

p∧¬p ⊨ q

由於矛盾句 p∧¬p 不可能為真,連帶不可能 p∧¬p 真並且 q 假,所以, p∧¬p 蘊涵 q 。

矛盾蘊涵一切,其實可由另外三條邏輯規則保證。這三條規則分別是簡化律(Simplification) 、附加律 (Addition) 和選言三段論 (Disjunctive Syllogism) 。

1.p∧¬p[Premise]
2.p[Simp 1]
3.¬p[Simp 1]
4.p∨q[Add 2]
5.q[DS 3,4]

換句話說,這三條規則成立的邏輯系統,矛盾的述句都會蘊涵任何述句。嚴格來說還假定了 soundness theorem, transitivity of validity, 以及 conditional proof 。

丟棄「矛盾蘊涵一切」的邏輯系統,稱為「超一致邏輯」 (paraconsistent logic) 。超一致邏輯有另一個足以震驚七百萬香港人的刻畫方式:超一致邏輯容許述句既真且假。由於述句可以又真又假,連帶以下兩個蘊涵式都不成立:

p∧¬p ⊨ q
¬p, p∨q ⊨ q

第一個是矛盾蘊涵一切,第二個正是選言三段論。

假設 p 既為真又為假,而 q 則僅為假。 p 為真,但由於 p 同時為假, ¬p 便為真,因此 p∧¬p 為真。在這情況, p∧¬p 雖是真的, q 卻是假的。

同樣假設 p 既真且假, q 僅為假。同樣地, ¬p 為真。由於 p 為真, p∨q 為真。在這情況, ¬p 及 p∨q 皆是真的,但 q 卻是假的。

換句話說,容許述句既真且假,一方面能直接封住「矛盾蘊涵一切」,另一方面也能堵塞保證「矛盾蘊涵一切」的選言三段論。
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