Barcan Formula

12/08/2015 09:09:00 上午
模態邏輯有兩個式子,由女哲學家 Ruth Barcan Marcus 命名,分別是

(BF) $\forall x\Box Fx\to\Box\forall x Fx$
(CBF) $\Box\forall x Fx\to\forall x\Box Fx$

第一個式子叫做 Barcan Formula ,第二個叫 Converse Barcan Formula 。

模態邏輯分固定式論域 (constant domain) 和變動式論域 (variable domain) 兩種。論域是物件的集合,在前一種模態邏輯每個可能世界都有同一個論域,在後一種模態邏輯可能世界的論域未必一樣。

(BF) 和 (CBF) 在固定式論域的模態邏輯雖然為真,在變動式論域模態邏輯卻有可能為假。 Kripke (1963) 有兩個簡單的例子,證明論域隨可能世界變動的模態邏輯底下, (BF) 和 (CBF) 都可為假。

Fig. 1

設 $w_0$ 有 a 一個物件, $w_1$ 有 a, b 兩個物件,兩個世界都只有 a 是 F 。由此,

$\forall x \Box Fx$

在 $w_0$ 為真,因為 $w_0$ 裡的所有東西就即是 a ,而 a 在所有可能世界都是 F 。然而,

$\Box\forall xFx$

在 $w_0$ 卻是假的,因為不是所有可能世界裡所有物件都是 F ,例如在 $w_1$ 便有一個 b 不是 F 。因此 (BF) 為假。


Fig. 2

設 $w_0$ 有 a, b 兩個物件, $w_1$ 有 a 一個物件,第一個世界兩個物件都是 F ,第二個世界只有 a 是 F 。由此,在 $w_0$

$\Box\forall xFx$

在 $w_0$ 為真,因為所有可能世界裡所有東西都是 F 。不過

$\forall x\Box Fx$

在 $w_0$ 卻是假的,理由是, $w_0$ 裡的東西不是全都必然是 F ,例如 b 便沒有在可能世界都是 F :可能世界 $w_1$ 沒有 b ,所以,「b 是 F」在 $w_1$ 沒有為真。因此 (CBF) 為假。



Kripke, S. (1963) Semantical Considerations on Modal Logic (pp. 67-68). In L. Linsky (1971) Reference and Modality. Oxford University Press.
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