不簡單的充分必要條件



「充分條件」(sufficient condition)和「必要條件」(necessary condition)是哲學家常用的術語,也是邏基礎輯書經常提及的概念。這對概念有些典型的例子,比如,所有單身漢都必定是單身的,並且只有單身的人才能是單身漢,故可謂:

1. 「單身漢」是「單身」的充分條件
2. 「單身」是「單身漢」的必要條件

事實上這對概念並不簡單。我之前在〈充分必要條件〉嘗試指出,即使在同一本邏輯書,也可能同時用了兩個迴然大異的定義。但充分必要條件的複雜性絕不只如此,我簡略談多兩個關於充分必要條件的問題。

問題一

第一個問題是,很多邏輯書的定義使我們沒有辦法一致地說「非充分、非必要」。根據 Varol Akman (2017) ,許多邏輯書都是用命題邏輯的質料條件句(material conditional)來定義「充分條件」和「必要條件」:

P 是 Q 的充分條件     =Df     P → Q
P 是 Q 的必要條件     =Df     Q → P

假設 P 是「小明用功讀書」、 Q 是「小明交到女朋友」。很明顯(雖然很可憐) P 既不是 Q 的充分條件,也不是 Q 的必要條件。根據定義,充分必要條件不成立,即是相應的質料條件句是錯的,也就是:

¬ ( P → Q ) ∧ ¬ ( Q → P )

但質料條件句只在一種情況錯:前項真而後項假的情況。因此,非必要、非充分的情況即是:

( P ∧ ¬ Q ) ∧ ( Q ∧ ¬ P )

最後等於要 P 、 Not-Q 、 Q 、 Not-P 一起成立,但這顯然不可能。換句說話,根據許多邏輯書的定義,說某條件「既非充分亦非必要」已經蘊涵矛盾。可是顯然真的有非充分、非必要的情況;邏輯書的定義無法正確捕捉「充分條件」和「必要條件」的用法。

用命題邏輯的質料條件句定義充分必要條件尚有許多問題,例如「單身」和「單身漢」根本就不是命題。 Akman (2017: 379) 建議不用命題邏輯,改用述詞邏輯,但只要仍用質料條件句來定義,類似的例子應該仍會出現(只需將論域設定成只有一個物件),因為第一個問題本質上就是質料條件句的問題

問題二

即使不用質料條件句,充分必要條件的定義往往仍涉及條件句(conditional)。第二個問題遠比第一個複雜,因為這個問題指出條件句(不只是質料條件句)本身就極麻煩。撇除當代的討論不談(例如不管反事實條件句(counterfactual conditional)),許多年前 Ian Wilson (1979) 已經留意到英文的條件句至少有兩個功用:用來做解釋(explanation)和用來做推論(inference)。固中原理大可不談,最重要的是許多哲學家和邏輯學都覺得充分必要條件能夠「互置」:

P 是 Q 的充分條件     ⇔     如果 P 則 Q     ⇔     Q 是 P 的必要條件

例如, Richard Taylor (2011: 125-126) 在他的經典文章〈宿命論(fatalism)〉就表明「P 是 Q 的充分條件」與「Q 是 P 的必要條件」可以互換。可是,這個「互置」的性質未必毫無問題。

試想像熹少是個十分膽小的人,只要聽到狗吠一定會哭。我們會同意條件句:

3. 如果狗吠,則熹少會哭

另一個條件句看來起也是真的:

4. 如果熹少沒有哭,則沒有狗吠

這情況可用「充分條件」來表達:

5. 「狗吠」是「熹少哭」的充分條件

然而,如果用「必要條件」來表達,聽起來就有點奇怪:

6. 「熹少哭」是「狗吠」的必要條件

箇中原因在於,我們可以用「狗吠」來解釋「熹少哭」(cf. 3, 5),但卻不能用「熹少沒有哭」來解釋「沒有狗吠」(cf. 4, 6)。比如,如果有人問你熹少為甚麼哭,你大可答他「因為剛才有狗吠」;但如果有人問你為甚麼沒有狗吠,你大概不會說「因為熹少沒有哭」。借用 Wilson 的分區,我們可說 3 是解釋用的條件句──前項「狗吠」可解釋後項「熹少哭」──但 4 不是解釋用的條件句──前項「熹少沒有哭」不可解釋後項「沒有狗吠」。

不過, 3 和  4 都是推論用的條件句:如果狗吠,我們便有理由推論熹少會哭;如果熹少沒有哭,我們也可藉此推論沒有狗吠。解釋用和推論用的條件句分別對應到 Wilson 的「reason why」和「reason for thinking」。 Wilson 的文章沒有討論充分必要條件,我不清楚他對條件句的區分能否套到充分必要條件上,也不清楚如果他的區分能套到充分必要條件上,又會有甚麼後果。

第二個問題源於有次我和老師討論充分必要條件的定義,他即時提出的疑問(細節可能有異,責任歸我)。我當時想了幾個回應,但好像都有問題,現在還未想到確切的回應方法。



參考文獻
Akman, V. (2017). Burn all your textbooks. The Australasian Journal of Logic, 14(3), 378-382.
Wilson, I. (1979). Explanatory and inferential conditionals. Philosophical Studies, 35(3), 269-278.
Taylor, C. (2011). Fatalism. In S. M. Cahn, R. B. Talisse, & S. F. Aikin (Eds.), Thinking About Logic: Classical Essays (123-135). Westview Press. Originally published in 1964.

11 則留言:

  1. 「P和Q既不充分也不必要」不能寫成「¬(P→Q)∧¬(Q→P)」,而應寫成「¬(P→Q)並且¬(Q→P)」,即二者的合取是在元語言上的合取。因爲在證明非充分性時,例如¬(P→Q),我們把P當作真的,來證明此時Q爲假,換言之我們做過一次部分賦值,令P=1,計算Q=0,並且最後得到了一個完整的賦值,P=1且Q=0;證明非必要性也是一樣,令Q=1,計算P=1,最後得到Q=1且P=0。此時如果有人說,證明的總結論是「P=1且Q=0且Q=1且P=0」,所以是個矛盾,這說法是荒謬的,因爲他其實是在把兩個不同的賦值,當作命題,進行合取。

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    1. 「把P當作真的來證明Q為假」也就是(用條件證法)證明「如果P則Not-Q」,這可能是證明其中一種(非質料)條件句假的方法,但不是證明質料條件句假的的方法。證明質料條件句假不可以「把P當作真」,而要確切提出「P真且Q假」的例子(具例或者邏輯詮釋)。(你說的方法是 Paul Grice 在 “indicative conditional” 說的其中一種條件句用法──用「如果P則Not-Q」來反對「如果P則Q」──也是我們日常用法之一,但那不是質料條件句──質料條件句「P→Q」和「P→¬Q」是一致的,可一齊為真」。問題一是針對用了質料條件句的定義。)

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    2. 我覺得我之前沒說清楚。證明P→Q爲假,當然要提出「P真且Q假」的例子,記作例子a;同樣的,證明Q→P,當然要提出「Q真且P假」的例子,記作例子b。很明顯,在證明「既不充分也不必要」時,我們無需讓a=b,其實二者也不可能相等。然而,在證明¬(P→Q)∧¬(Q→P)時,我們必須用同一個解釋來爲兩個合取支賦值,換言之,a和b必須是同一個例子。這正是矛盾的由來,也正說明把「P和Q既不充分也不必要」理解成「¬(P→Q)∧¬(Q→P)」是不對的,即使我們用質料條件句來理解充分性和必要性。
      問題的根源在於,哪怕將P是Q的充分條件理解成P→Q,P不是Q的充分條件也不是¬(P→Q),而應該是◊¬(P→Q),自然語言的變形和形式語言的不一定具有一致性。

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    3. 「哪怕將P是Q的充分條件理解成P→Q,P不是Q的充分條件也不是¬(P→Q),而應該是◊¬(P→Q)」

      如果

      P是Q的充分條件 = P→Q
      P不是Q的充分條件 = ◊¬(P→Q)

      那麼,「P是Q的充分條件」和「P不是Q的充分條件」就不是互相否定,因為「P→Q」和「◊¬(P→Q)」沒有互相否定(i.e. 可一齊真)。除非有特別強(且獨立)的理由,否則應將兩者看成互相否定。(而你最初的留言用了「¬(P→Q)並且¬(Q→P)」,似乎也同意兩者應該是互相否定?)

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    4. 最初的留言是有問題的,當時我感覺將「既不充分也不必要」理解成「不充分合取不必要」有些毛病,但說得不太清楚。我現在的想法應該是,P和Q既不充分也不必要 = ◊¬(P→Q)∧◊¬(Q→P),可能還有錯誤,以後可以繼續修正。
      至於P是Q的充分條件,按照對相互否定的理解,也應寫成□(P→Q)。

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    5. 如果你這樣理解充分必要條件, Akman 的反對就不會影響到你,因為那個問題的目標是將充分必要條件理解成「P→Q」的理論。實際上他舉了非常多例子,證明很多邏輯書都是這樣理解充分必要條件。我自己同意用「□(P→Q)」來理解充分必要條件,只是當中的「□」會有歧義,因為日常語言的模態有歧義(概念上必然、物理上必然等等)。

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  2. 至於問題二,我覺得這句話好像不當,「試想像熹少是個十分膽小的人,只要聽到狗吠一定會哭。我們會同意條件句:
    3. 如果狗吠,則熹少會哭」。我認爲,從熹少的習慣中,我們得到的條件句應該是:如果熹少聽到狗吠,則熹少會哭。而用「熹少沒有哭」解釋「熹少沒有聽到狗吠」,似乎並無不妥。

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    1. Wilson 的「解釋」是指「reason why」。如果要提供理由解釋「為甚麼沒有狗吠」,我們不會說「因為熹少沒有哭」。

      或許你用了另一個意思的「解釋」,例如,如果要提供理由解釋「為甚麼你認為沒有狗吠」,我們就可以說「因為熹少沒有哭」。後一種就是「reason for thinking」,也就是 Wilson 想說,用來做推論的條件句(inferential conditional)。

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    2. 首先還是再強調一下,這裏需要解釋的應該是「爲何熹少沒有聽到犬吠」,而非「爲何沒有犬吠」。畢竟從原現象中,得到的應該是我在上面說的那個句子。
      至於「熹少沒有聽到犬吠」這件事發生的原因(reason why),和相信該事件發生的理由(reason for thinking),一般認爲是不同的。但這個不同,僅僅從「如果熹少聽到犬吠,則熹少會哭」這個條件句,及其有效推演是得不出的,而涉及我們的其他一些認識。例如,大部分人並沒有聽到犬吠就哭的習性,而原因應該來自於普遍的原理,所以會哭不是原因,而只是在熹少這一個案下才成立的特例;但是如果大部分人都有聽到犬吠就哭的習性,那麼我們也許也會承認,這就是原因,並且同時,也是建立信念的理由。
      而充分必要條件似乎不那麼重視其他的例子。只要「聽到犬吠」和「哭」這兩類事情的發生是必然相隨的,那麼即使這種聯繫只發生在熹少這一個例子身上,充分必要條件的說法就是在這個例子上成立的。

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    3. //首先還是再強調一下,這裏需要解釋的應該是「爲何熹少沒有聽到犬吠」,而非「爲何沒有犬吠」。畢竟從原現象中,得到的應該是我在上面說的那個句子。//

      「狗吠」和「熹少哭」就是條件句的前後項,而且正是要討論的對象這兩項有沒有出現,怎麼會變成「而非『爲何沒有犬吠』」?

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  3. 因爲現在的事實是「試想像熹少是個十分膽小的人,只要聽到狗吠一定會哭。」我們從中不能得到「如果狗吠,則熹少會哭」這個條件句。因爲即使「狗吠」,但熹少沒聽到的話,他自然不一定會哭。所以,我上面說,我們得到的句子應該是「如果熹少聽到狗吠,則熹少會哭」,需要解釋的自然也就是「爲何熹少沒有聽到犬吠」,而非「爲何沒有犬吠」。
    而如果令「如果狗吠,則熹少會哭」爲真,那其實意味着祇要狗吠,不管在三維宇宙的什麼地方,熹少一定聽得見,並且會哭,這已經沒有物理上的可能了。當然只考慮原則上的可能,這樣想也沒問題,但是很古怪。

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