弗列格的智慧

3/30/2019 09:58:00 上午
好幾次聽到人說,德國哲學家弗列格 (Gottlob Frege) 那篇 “Sense and Reference” 後半部分甚為多餘,現在想起仍覺好笑。對我而言, “Sense and Reference” 後半有不少洞見,到今日依然受用。
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記得我七年前當一科通識邏輯課的助教,遇到個自視甚高的學生,不斷在課堂反對老師,還叫老師去請教李天命甚麼是邏輯。那個學生的反對,絕大多數是一知半解,剩下的是零知零解。最諷刺的是,有一堂教語句邏輯 (sentential logic) ,老師說「所有人都會死,蘇格拉底是人,因此蘇格拉底會死」翻譯成語句邏輯只會不對確 (invalid) ,那學生「看不下去」,徑自走到白板前,「示範」怎樣用語句邏輯將之譯成對確論證,結果寫了一堆 gibberish 。他寫了許多次,每一次都錯。其中一次便錯在將「所有人都會死」翻譯成「如果 P 則 Q」。這是邏輯初哥常犯的錯誤,在網上自詡懂邏輯的網民也有不少會犯這種低級錯誤。

為甚麼不可以將「所有人都會死」翻譯成「如果 P 則 Q」?因為「P」和「Q」在語句邏輯必須是意思完整的語句,可是,若要翻譯「所有人都會死」,「P」和「Q」都無法變成意思完整的語句。

錯誤一

最低級的錯誤是用「P」代表「人」、「Q」代表「會死」。這樣一來「P」和「Q」都不是語句,自然成不了語句邏輯的翻譯。二來,「如果 P 則 Q」變成「如果人則會死」,更是不知所云。
如果人,則會死
P:人
Q:會死
錯誤二

「所有人都會死」的意思是「如果有東西是人,則它是會死的」,有人因此以為能夠用「P」代表「有東西是人」、「Q」代表「它是會死的」。
如果有東西是人,則它是會死的
P:有東西是人
Q:它是會死的
這就是我提弗列格的原因。弗列格早在一百年前的 “Sense and Reference” 便解釋過這個想法是錯的,他用的例子是 “If a number is less than 1 and greater than 0, its square is less than 1 and greater than 0” 。表面上這個句子可以拆成兩個意思完整的語句:
If a number is less than 1 and greater than 0, its square is less than 1 and greater than 0.
P: a number is less than 1 and greater than 0
Q: its square is less than 1 and greater than 0
然而,弗列格指出這個句子帶有「普遍性」 (generality),因為它不是在談某個特定數字,而是在談所有數字。這句子的意思是:每一個小於 1 又大於 0 的數字,它的平方會是小於 1 又大於 0 ── 它談的是每一個數字,不是某一個數字。若果將 “a number” 和 “its square” 理解在講某一個特定數字,例如在說 0.2383 ,整個句子便失去普遍性,變成不是在談所有數字。

正確的理解是:
For every number x, if x is less than 1 and greater than 0, x² is less than 1 and greater than 0
P: x is less than 1 and greater than 0
Q: x² is less than 1 and greater than 0
這樣寫便可以清楚看出兩點。一, “for every number x” 顯示句子有普遍性,談的是所有數字;二, “x is less than 1 and greater than 0” 和 “x² is less than 1 and greater than 0” 獨立地看都沒有完整意思,因為兩者的 x 必須由最前方的 “for every number x” 決定。

同樣道理,「所有人都會死」的意思是:
對於任何一個東西 x ,如果 x 是人,則 x 會死
P: x 是人
Q: x 會死
這個句子的普遍性來自「對於任何一個東西 x」。之後的「x 是人」和「x 會死」獨立來看都沒有完整意思,因為兩者的 x 都必須由前方的「對於任何一個東西 x」決定。

「所有人都會死」的意思的確等於「如果有東西是人,則它是會死的」,但後者的意思其實等於「對於任何一個東西 x ,如果 x 是人,則 x 會死」,裡面有隱藏的普遍性和隱藏的變元 x ,一旦譯成「如果 P 則 Q」,「P」與「Q」都不會有完整的意思。

真正懂基礎邏輯便應該知道「所有人都會死,蘇格拉底是人,因此蘇格拉底會死」在語句邏輯只能譯成不對確的「P. Q. Therefore, R」,在述詞邏輯才可譯成對確的「∀ x(Px → Qx). Pa. Therefore, Qa」。我們今日學習的語句邏輯和述詞邏輯,大體上是源於弗列格的 Begriffsschrift 。他的 “Sense and Reference” 雖然沒有邏輯符號,但有不少論證其實是在支持他所提出的邏輯系統,也可以解釋為何某些譯法在我們今日學的邏輯是錯的。

我曾經辦過一個分析哲學史讀書組,每次由我整理和報告分析哲學歷史上重要的文獻。讀到 “Sense and Reference” ,我想將弗列格的重要論點和見解列出來,結果因為太多,做了四十頁投影片就被逼收手。

聽到人說 “Sense and Reference” 的後半部分多餘,我的立場一貫都是:等你過幾年有所長進,再看一次吧。
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