基本比率(Base Rate)

3/27/2020 10:47:00 上午
看看以下兩個情境:
  1. 有路人在咳嗽,從她和別人的談話得知,她染上了 X 和 Y 其中一種疾病。已知 X 的患者有 75% 會咳嗽,而 Y 的患者只有 45% 會咳嗽,你會推論……?
  2. 你擔心自己被傳染,走了去做 X 病的檢測。你用的試劑可以百分百有效地偵測出 X 病患者,但同時也會誤將 10% 沒有患病的人診成患者。換句說話,如果你有病,檢測結果必定呈陽性 (true positive) ;如果你沒有病,檢測結果有 10% 會呈陽性 (false positive) 。你收到檢測結果,天啊竟然是陽性,由此可見……?
多數人的推論是這樣的。
  • 在第一個情境,既然患上 X 而咳嗽的比例高過患上 Y 而咳嗽的比例,那個路人似是患上 X 。有些人甚至會推論,那個路人有 75% 機率患上 X 。
  • 在第二個情境,既然檢測的犯錯率只有 10% ,我應該有 90% 機會患上 X 。
這兩個常見的推論都是錯的,因為它們都忽略了基本比率 (base rate) 。

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第一個情境

假設 X 病的患者有 1,000 人, Y 病的患者有 9,000 人。

情境一

用已知的百分比可以計算出,患 X 病而咳嗽的人有 750 個,患 Y 病而有咳嗽的人有 4,050 個,這代表總共有 4,800 個患者有咳嗽的症狀。
  • 咳嗽人士之中, X 病患者佔的比例是: 750 / 4,800 = 15.6%
  • 咳嗽人士之中, Y 病患者佔的比例是: 4,050 / 4,800 = 84.4%
由此可見,如果 X 病患者和 Y 病患者的比例是 1:9 ,咳嗽的人是 X 病患者的可能性便遠低於是 Y 病患者的可能性。這個 1:9 是基本比率。不知基本比率,即使知道兩病患者的咳嗽比例,依然無法單從咳嗽推論出對方更可能患哪種病。

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第二個情境

假設 X 病的患者有 1,000 人,沒有患 X 病的人 ── 這當中包括患了其他病和健康的人 ── 有 99,000 人。

情境二

從已知的百分比可以計算出,患 X 病而檢測出陽性的人數是 1,000 ,沒有患 X 病但同樣檢測出陽性的人數是 9,900 ,所以檢測呈陽性的總人數是 10,900 。
  • 測得陽性的人之中,患有 X 病的比例是: 1,000 / 10,900 = 9.2%
  • 測得陽性的人之中,沒有患 X 病的比例是: 9,900 / 10,900 = 90.8%
假如患 X 病和沒有患 X 病的比例是 1:99 ,檢測呈陽性的人之中,確實有患 X 病的比例,其實連一成也不到。這個 1:99 是基本比率。換句話說,假如不知道基本比率,即使知道檢測可以百分百偵測出 X 病患者,而只有 10% 的非患者會被誤診,依然無法單從陽性結果推論對方患病的概率。

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備註

  1. 情境一改自 Tracy Bowell 與 Gary Kemp 合著的 Critical Thinking: A Concise Guide (2010, 3rd ed., pp. 206–7) 。
  2. 情境二改自 David Papineau 的 Philosophical Devices (2012, p. 113) 。
  3. 講「基本比率謬誤 (Base rate fallacy)」的文獻主要以情境二為例,但其實情境一的例子原理相通。
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