四個關於對確論證的問題

10/15/2021 07:41:00 上午
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-   §1   -


基礎邏輯課會教一個概念,在香港叫做「對確」,在台灣稱為「有效」,兩者皆是英文「validity」的翻譯。這個概念在邏輯學是基本中的基本,說的是前提和結論之間某一個邏輯關連。更準確地說,這個概念所講的邏輯關連是:如果前提全部為真,則結論也必然為真。我比較喜歡另一個說法:

    不可能:前提全部為真但結論為假

標準的教科書例子是「所有人都會死。柏拉圖是人,因此柏拉圖會死」。由於不可能出現包括柏拉圖在內的所有人都會死(前提全部為真),而柏拉圖不會死(結論假)的情況,因此它是對確論證(valid argument)。同樣道理,「初音是女歌手,因此初音是歌手」也是對確論證,因為不可能出現初音是女歌手(前提真)而不是歌手(結論假)的情況。

相反,不對確(invalidity)形容欠缺這一個邏輯關連的論證。不確對的論證(invalid argument)即使全部前提為真,結論仍未必是真的。用我喜歡的說法:

    有可能:前提全部為真但結論為假

比如,「阿源是男子,因此阿源是單身漢」是不對確論證,因為阿源有可能已婚男子,令這論證的前提(阿源是男子)為真、結論(阿源是單身漢)為假。同樣道理,即使觀察到一千萬隻白天鵝,仍有可能在下一刻發現黑天鵝。根據定義,「這一千萬隻天鵝是白色的,因此下一隻天鵝白色的」是不對確論證。

然而,明白概念的典型例子是一回事,明白概念的邏輯後果是另一回事。對確論證有不少奇怪的邏輯後果,初學邏輯未必會接觸,也未必需要接觸,但讀得稍為深入便難免遇到。我問四條問題。這四條問題的答案看似離奇,但全部可以從「對確」的定義推導出來。覺得自己已經明白甚麼是「對確」,不妨考考自己。

至此仍看不懂的,可以關閉此分頁了。


-   §2   -

Q1

設「P ,因此 Q」為不對確論證。
可不可能加上一個前提令它變成對確論證?


Q2

設「P ,因此 Q」為對確論證。
可不可能加上一個前提令它變成不對確論證?


Q3

設「P」為矛盾句──即, P 不可能為真。
有沒有可能找到一個結論 Q 使得「P ,因此 Q」是不對確論證? 


Q4

設「Q」為恆真句──即, Q 必然是真的。
有沒有可能找到一個前提 P 使得「P ,因此 Q」是不對確論證?







想清楚再往下拉








-   §3   -

A1:有可能。

不對確的論證可能在加上前提後變成對確論證。其中一個方法是將結論加到前提:

    P
    Q   (新前提)
    因此,Q

這個論證是對確的,因為前提全真的情況,前提二 Q 會為真,連帶結論 Q 也為真。

另一個方法是加上條件句「如果 P 則 Q」,使論證變成:

    P
    如果 P 則 Q   (新前提)
    因此, Q

如此一來,這便成了肯定前項的論證形式,一定是對確的。另外仍有不少方法可以令不對確的論證變對確,比如用 A3 所說的方法。



A2:不可能。

「P ,因此 Q」是對確論證,代表不可能有 P 真而 Q 假的情況。假如為這個論證加上一個新前提,例如 R ,變成「P 。 R ,因此 Q」,它仍會是對確論證。為甚麼?

    P
    R   (新前提)
    因此, Q

假設「P 。 R ,因此 Q」不對確。這代表有一個情況前提 P 和前提 R 為真而結論 Q 為假,但這同時也會是 P 真而 Q 假的情況,也就會令「P ,因此 Q」變成不對確。由於「P ,因此 Q」對確,不可能有 P 真而 Q 假的情況,連帶也不可能有 P 真且 R 真且 Q 假的情況,於是「P 。 R ,因此 Q」符合定義,是對確論證。

換個方式想:假如前提 P 已足以保證結論 Q ,無論加上多少前提,由於有額外前提的論證仍然有 P ,因此前提仍然足以保證結論 Q 。

有人可能會問:如果新加的前提導致矛盾呢?根據下一題的答案,前提有矛盾,論證仍然對確。



A3:不可能。

「對確論證」的定義是「不可能全部前提為真而結論為假」。若果前提有矛盾,論證必定會是對確的。要知道原因,先做一個類比。

假如某甲不可能娶到老婆,他還有沒有可能娶到身高超過一米七的老婆?當然不可能,因為娶到身高超過一米七的老婆代表娶到老婆。

同樣道理,假如 P 不可能為真,還有沒有可能 P 真並且 Q 假?當然不可能,因為有可能 P 真並且 Q 假,代表有可能 P 是真的。

背後的原理是這樣的:如果不可能符合條件一,自然不可能同時符合條件一和條件二。在此,條件一是「前提 P 為真」,條件二是「結論 Q 為假」。由於 P 有矛盾,不可能 P 為真,因此──無論 Q 是甚麼──也不可能 P 為真之餘 Q 為假。

推而廣之,如果前提有矛盾,代表不可能全部前提為真,因此也不可能全部前提為真之餘結論為假。這代表前提有矛盾的論證自然會符合對確論證的定義,亦即:無論結論是甚麼,前提矛盾的論證都會是對確論證。



A4:不可能。

矛盾句不可能真,恆真句不可能假。上題的想法可以證明結論恆真的論證也一定對確。

若果結論 Q 是恆真句,代表結論 Q 不可能假,因此也不可能前提 P 為真之餘結論 Q 為假──光是後一個條件「Q 為假」已不可能滿足,怎麼還有可能同時滿足「P 為真」和「Q 為假」兩個條件?

推而廣之,如果結論恆真,則結論不可能為假,自然也不可能全部前提為真之餘結論為假。故此,無論前提是甚麼,結論恆真的論證一定對確。


-   §4   -


第一題只要稍為想想,馬上就知道答案。

第二題說的是古典邏輯(classical logic)的特徵。對確論證加上新前提仍然對確,這特徵在邏輯學稱為「單調性」(monotonicity),而古典邏輯便是其中一套單調邏輯(monotonic logic)。當代有些邏輯系統摒棄單調性,但基礎邏輯課教的普遍仍是古典邏輯,所以單調性在基礎邏輯課仍然成立。更重要的是,如果你接受「對確論證」的定義是「不可能全部前提為真而結論為假」,單調性幾乎是無可避免的後果,因為推導單調性的關鍵步驟只有一步──從「不可能 P 真且 Q 假」推論「不可能 P 真且 R 真且 Q 假」──而這一步有非常強的直覺支持。

第三題和第四題有十分奇怪的後果,例如以下兩個論證都是對確的。

    小明是單身漢而且不是單身漢   (矛盾前提)
    因此,有外星人存在

    香港有一座獅子山
    因此,1+1=2   (恆真結論)

我最常遇到的反應是:「這兩個論證很明顯不對確啊!」

「對確」的定義是甚麼?這兩個論證怎樣違反「對確」的意定?我在前面證明這兩類論證都一定符合第一節所說的「對確」的定義。若果有人接受第一節的定義又不接受這兩個後果,那只是因為他其實未明白他口中的「對確」是甚麼意思。

「可是」那些人會繼續說:「這兩個論證的前提和結論很明顯沒有邏輯關連!」

甚麼邏輯關連?對確?「邏輯關連」是十分籠統的說法,「對確」正是其中一個釐清「邏輯關連」後得出的意思,遠比籠統的「邏輯關連」來得清楚。那兩個論證確實不是好論證,但也確實符合「對確」的定義,因為第一節說的「對確」只是要求前提和結論的真假符合某個模式──符合「不可能前提全部為真同時結論為假」的模式。「對確」完全沒有提及令前提和結論符合這個模式的原因,就像它完全沒有說到前提要有多少、前提和結論要有甚麼內容、結論可不可以在前提出現。

「對確」的定義可以改,有些邏輯學家確是採用另一個「對確」的意思。我做的只是從第一節的定義,也就是現時的標準定義,推導出四個後果。
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