四個關於對確論證的問題
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- §1 -
基礎邏輯課會教一個概念，在香港叫做「對確」，在台灣稱為「有效」，兩者皆是英文「validity」的翻譯。這個概念在邏輯學是基本中的基本，說的是前提和結論之間某一個邏輯關連。更準確地說，這個概念所講的邏輯關連是：如果前提全部為真，則結論也必然為真。我比較喜歡另一個說法：
不可能：前提全部為真但結論為假
標準的教科書例子是「所有人都會死。柏拉圖是人，因此柏拉圖會死」。由於不可能出現包括柏拉圖在內的所有人都會死（前提全部為真），而柏拉圖不會死（結論假）的情況，因此它是對確論證（valid argument）。同樣道理，「初音是女歌手，因此初音是歌手」也是對確論證，因為不可能出現初音是女歌手（前提真）而不是歌手（結論假）的情況。
相反，不對確（invalidity）形容欠缺這一個邏輯關連的論證。不確對的論證（invalid argument）即使全部前提為真，結論仍未必是真的。用我喜歡的說法：
有可能：前提全部為真但結論為假
比如，「阿源是男子，因此阿源是單身漢」是不對確論證，因為阿源有可能已婚男子，令這論證的前提（阿源是男子）為真、結論（阿源是單身漢）為假。同樣道理，即使觀察到一千萬隻白天鵝，仍有可能在下一刻發現黑天鵝。根據定義，「這一千萬隻天鵝是白色的，因此下一隻天鵝白色的」是不對確論證。
然而，明白概念的典型例子是一回事，明白概念的邏輯後果是另一回事。對確論證有不少奇怪的邏輯後果，初學邏輯未必會接觸，也未必需要接觸，但讀得稍為深入便難免遇到。我問四條問題。這四條問題的答案看似離奇，但全部可以從「對確」的定義推導出來。覺得自己已經明白甚麼是「對確」，不妨考考自己。
至此仍看不懂的，可以關閉此分頁了。
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§2 -
Ｑ１
設「P ，因此 Q」為不對確論證。
可不可能加上一個前提令它變成對確論證？
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Ｑ２
設「P ，因此 Q」為對確論證。
可不可能加上一個前提令它變成不對確論證？
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Ｑ３
設「P」為矛盾句──即， P 不可能為真。
有沒有可能找到一個結論 Q 使得「P
，因此 Q」是不對確論證？
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Ｑ４
設「Q」為恆真句──即， Q 必然是真的。
有沒有可能找到一個前提 P 使得「P ，因此
Q」是不對確論證？
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想清楚再往下拉
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§3 -
Ａ１：有可能。
不對確的論證可能在加上前提後變成對確論證。其中一個方法是將結論加到前提：
P
Q （新前提）
因此，Q
這個論證是對確的，因為前提全真的情況，前提二 Q 會為真，連帶結論 Q 也為真。
另一個方法是加上條件句「如果 P 則 Q」，使論證變成：
P
如果 P 則 Q （新前提）
因此， Q
如此一來，這便成了肯定前項的論證形式，一定是對確的。另外仍有不少方法可以令不對確的論證變對確，比如用 A3 所說的方法。
Ａ２：不可能。
P
R （新前提）
因此， Q
假設「P 。 R ，因此 Q」不對確。這代表有一個情況前提 P 和前提 R 為真而結論 Q 為假，但這同時也會是 P 真而 Q 假的情況，也就會令「P ，因此 Q」變成不對確。由於「P ，因此 Q」對確，不可能有 P 真而 Q 假的情況，連帶也不可能有 P 真且 R 真且 Q 假的情況，於是「P 。 R ，因此 Q」符合定義，是對確論證。
換個方式想：假如前提 P 已足以保證結論 Q ，無論加上多少前提，由於有額外前提的論證仍然有 P ，因此前提仍然足以保證結論 Q 。
有人可能會問：如果新加的前提導致矛盾呢？根據下一題的答案，前提有矛盾，論證仍然對確。
Ａ３：不可能。
假如某甲不可能娶到老婆，他還有沒有可能娶到身高超過一米七的老婆？當然不可能，因為娶到身高超過一米七的老婆代表娶到老婆。
同樣道理，假如 P 不可能為真，還有沒有可能 P 真並且 Q 假？當然不可能，因為有可能 P 真並且 Q 假，代表有可能 P 是真的。
背後的原理是這樣的：如果不可能符合條件一，自然不可能同時符合條件一和條件二。在此，條件一是「前提 P 為真」，條件二是「結論 Q 為假」。由於 P 有矛盾，不可能 P 為真，因此──無論 Q 是甚麼──也不可能 P 為真之餘 Q 為假。
推而廣之，如果前提有矛盾，代表不可能全部前提為真，因此也不可能全部前提為真之餘結論為假。這代表前提有矛盾的論證自然會符合對確論證的定義，亦即：無論結論是甚麼，前提矛盾的論證都會是對確論證。
Ａ４：不可能。
若果結論 Q 是恆真句，代表結論 Q 不可能假，因此也不可能前提 P 為真之餘結論 Q 為假──光是後一個條件「Q 為假」已不可能滿足，怎麼還有可能同時滿足「P 為真」和「Q 為假」兩個條件？
推而廣之，如果結論恆真，則結論不可能為假，自然也不可能全部前提為真之餘結論為假。故此，無論前提是甚麼，結論恆真的論證一定對確。
- §4 -
第一題只要稍為想想，馬上就知道答案。
第二題說的是古典邏輯（classical logic）的特徵。對確論證加上新前提仍然對確，這特徵在邏輯學稱為「單調性」（monotonicity），而古典邏輯便是其中一套單調邏輯（monotonic logic）。當代有些邏輯系統摒棄單調性，但基礎邏輯課教的普遍仍是古典邏輯，所以單調性在基礎邏輯課仍然成立。更重要的是，如果你接受「對確論證」的定義是「不可能全部前提為真而結論為假」，單調性幾乎是無可避免的後果，因為推導單調性的關鍵步驟只有一步──從「不可能 P 真且 Q 假」推論「不可能 P 真且 R 真且 Q 假」──而這一步有非常強的直覺支持。
第三題和第四題有十分奇怪的後果，例如以下兩個論證都是對確的。
小明是單身漢而且不是單身漢 （矛盾前提）
因此，有外星人存在
香港有一座獅子山
因此，1+1=2 （恆真結論）
我最常遇到的反應是：「這兩個論證很明顯不對確啊！」
「對確」的定義是甚麼？這兩個論證怎樣違反「對確」的意定？我在前面證明這兩類論證都一定符合第一節所說的「對確」的定義。若果有人接受第一節的定義又不接受這兩個後果，那只是因為他其實未明白他口中的「對確」是甚麼意思。
「可是」那些人會繼續說：「這兩個論證的前提和結論很明顯沒有邏輯關連！」
甚麼邏輯關連？對確？「邏輯關連」是十分籠統的說法，「對確」正是其中一個釐清「邏輯關連」後得出的意思，遠比籠統的「邏輯關連」來得清楚。那兩個論證確實不是好論證，但也確實符合「對確」的定義，因為第一節說的「對確」只是要求前提和結論的真假符合某個模式──符合「不可能前提全部為真同時結論為假」的模式。「對確」完全沒有提及令前提和結論符合這個模式的原因，就像它完全沒有說到前提要有多少、前提和結論要有甚麼內容、結論可不可以在前提出現。
「對確」的定義可以改，有些邏輯學家確是採用另一個「對確」的意思。我做的只是從第一節的定義，也就是現時的標準定義，推導出四個後果。
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