維根斯坦與數學基礎

1/31/2022 05:41:00 下午
假設有個小孩從 2 開始,接著 4 ,之後 6 ,一直數到 1000 。你問他在做甚麼,他說他在加二(+2),然後繼續數,但接下來數的卻是 1004 。你問他怎得出後來的數字,他說他在延續剛才 +2 的序列, 1000+2=1004 。小孩算錯了, 1000 之後是 1002 而不是 1004 。可是,為甚麼 1004 是錯的?

最簡單的答案是:因為數學是客觀、絕對的。 1000+2=1002 ,這是顛撲不破的真理,無論在何時、何地、何種文化都成立,與人類的活動完全無關。這種答案又稱「柏拉圖主義」(Platonism),因為柏拉圖認為數存在於理型世界,不受人類活動影響。

另一個答案是約定論(conventionalism)。 1000+2=1002 是因為 “1000” 、 “+” 、 “2” 等符號的意思已決定結果一定是 “1002” ,這不是由於有客觀獨存的數,而是由於我們現時採用關於那幾個符號的約定俗成。假如我們採用另一個 “+2” 的約定俗成, 1000+2=1004 也可以是對的,只不過這事實上並不是我們的約定俗成。

根據 Barry Stroud 在 “Wittgenstein and logical necessity” (1965) 的解讀,維根斯坦提出第三個答案。這個答案源於維根斯坦的《Philosophical Investigations》 (PI) 和《Remarks on the Foundations of Mathematics》 (RFM) 。即使 Stroud 解釋過的維根斯坦仍然有不少含糊之處,但 Stroud 讀出來的想法卻十分特別。

維根斯坦在《PI》 (185) 寫,小孩在 1000 以後數 1004 、 1008 、 1012 ,有可能是因為他做的事其實是:直至 1000 都 +2 ,直至 2000 都 +4 ,直至 3000 都 +6 ,如此類推。小孩在 1000 之後數 1004 ,令人莫名其妙,情況就像有人指方向,但每次沿他指尖看去,總掌握不到他指的方向,後來才發現他不是指手腕到指尖的方向,而是指尖到手腕的方向。

在《RFM》 (I, 149) ,維根斯坦提出一個販木的例子。木販以木材的大小決定售價,木材愈大,售價愈高,但木材的大小怎樣決定?木販說,以木材貼地的面積計算。甚麼意思?假如有塊木的體積是 10m (長) x 1m (闊) x 5m (高) ,貼地的面積是 10m x 1m ,另一塊木是 1m (長) x 5m (闊) x 10m (高) ,貼地面積是 1m x 5m ,木販會用更高價錢賣第一塊木,因為對他來說第一塊木更大。假設你問木販:「可是,我只要把第二塊木翻一翻,它的貼地面積便會從 1x5 變成 10x1 ,你會說那塊木變大了嗎?」木販堅持:「會啊,這塊木真的變大了。」木販錯了嗎?

假設手指客自自然然的就用指尖到手腕的方向看東西,假設木販真心相信翻一翻就會令木變大,我們可以證明他們客觀地錯了?似乎不可以;似乎事情也就只能這樣完了(that would be the end of the matter)。這兩個例子令維根斯坦更加像約定論者,因為我們很自然會覺得:孩子不是用 +2 的約定,而是用 +2 至 1000 且 +4 至 2000 的約定;手指客不是用手腕往指尖方向的約定,而是用指尖往手腕方用的約定;木販不是用我們計算大小的約定,而是用貼地面積決定大小的約定。 Michael Dummett 因此在 “Wittgenstein’s philosophy of mathematics” (1959) 說,維根斯坦最終也是約定論者,因為他的例子最終還是要用約定論說明。

這裡出現解讀維根斯坦的兩難。一方面,如果維根斯坦用手指客和木販的例子反對柏拉圖主義,那麼他的例子至少要清晰地顯示另一套與別不同的做法也是對的(因此那些人的做法不像柏拉圖主義所說那般,客觀地錯),但手指客和木販的做法並不明顯是對的。另一方面,如果維根斯坦的例子是清晰、可理解的,那麼他便必須訴諸約定論,藉由「約定不同」來解釋手指客和木販的特殊行徑,但這又得面對 Dummett 在 1959 年的攻擊。因此,要麼維根斯坦未能提出清晰的例子反駁柏拉圖主義,要麼他提出了清晰的例子但成了 Dummett 攻擊的約定論者。我不打算介紹 Dummett 的攻擊。我只想藉由這個對比帶出 Stroud 的第三個解讀:維根斯坦不是用那些例子說明有另一套清晰、可理解、異於尋常的做法,而是用那些例子說明有些異於尋常的做法正正是我們無法理解的!亦因此,他在《RFM》 (III, 29) 一再強調我們對那些情況其實沒有清晰的概念(clear concept)。

我們真的明白木販的「大小」概念嗎?且莫說同一塊木只要翻轉就會變大,木販的「大小」尚有許多怪異後果。如果有人可以舉起他買到最大的木材,我們會說他將木材翻轉後,舉起的木材多了或少了,但重量一樣?木販的「多少」和「輕重」該怎樣理解?單腳站立比雙腳站立的貼地面積更少,但這代表我們單腳站立時縮小了?只要修改房子的貼地面積,在木販的計算下房子會大兩倍,但同一堆木材怎可以蓋兩倍大的房子?類似的問題可以一直問下去,重點在於木販的「大小」其實牽扯到其他概念,愈加鑽研細節,愈會發現木販身處的世界陌生──他不是只有一個概念和我們不同,他根本就活在另一個世界!

維根斯坦在《RFM》考慮更多相似情況,例如用容易大幅膨脹的尺子做量度根據 (I, 5) 、羅列名單總容許同一個名字重覆出現 (V, 8) 、需要知道某個實際數字的時候可以將闔眼隨便想到的數字當做答案 (V, 14) 。這些情況與木販的情況一樣,我們將細節想得愈清楚,就要放棄愈多熟悉的概念,連帶離我們熟悉的世界愈遙遠。然而,這並不是由於那些情況全無意義、隱含矛盾,或邏輯上絕不可能出現,而是由於我們的生命形式(form of life)註定無法明白那些情況。

維根斯坦提供對我們來說異於尋常卻又無法理解的例子,因為他要說明的是,我們可以明白可能有不同的計算方式,但無法明白那是怎樣的計算方式。比如,我們可以明白可能有外星人用著與我們截然不同的數學系統,但正因為那是截然不同的數學系統,我們無法明白外星人那套數學系統到底是甚麼樣子。

最根本的原因是,我們的數學是以人類為中心的現象(anthropological phenomenon),取決於人類的自然歷史(the natural history of man)──包括生而為人所擁有的能力和限制。數學對人類來說之所以有可能,是因為我們本身已具備某些生理和心理結構,例如我們的記憶力不會差到要重數才能從 1 數到 12 (RFM, V, 2) ,例如我們有能力將五拆成兩個數的相加 (RFM, I, 64) ,例如我們可以計算到教科書簡單的乘法 (RFM, I, 112) 。這些能力都是我們偶然地──而不是必然地──擁有的能力,我們可以想像不同的演化過程或者不同的生存環境,令人類的基本能力迥然不同。但是,我們的數學正正建基在這些能力上;假如人類在物理、心理、生理上的條件徹底改變,人類的數學很可能也會是另一個樣子──另一個以我們現時的條件無法理解的樣子。 (RMF, V, 15)

那麼,人類的數學是不是正確的數學? 1000+2 是否客觀地就是 1002 ?維根斯坦在《RFM》和《PI》似乎認為,我們沒有辦法證明自己在用正確還是不正確的數學。事實上,我們不應該追求這種證明,因為這種證明根本就不存在,因為我們唯一可以說的就只有:這就是我們的做法、這就是我們的生命形式。
“The danger here, I believe, is one of giving a justification of our procedure when there is no such thing as a justification and we ought simply to have said: that’s how we do it.” (RFM, II, 74)
“What has to be accepted, the given , is—so one could say—forms of life.” (PI, 226)
若要說數學有「基礎」,那「基礎」便是我們的生命形式、我們的自然歷史。我們沒有能力選擇自己的生命形式和自然歷史;我們誕生便是這樣子,由不得我們選擇。追問我們的數學有何正當基礎,等於追問我們生命形式有何正當基礎,也等於追問我們長成現在的樣子有何正當基礎,但這種事根本沒有正當不正當、沒有對或錯──我們就是這樣,我們只能是這樣!

在 Stroud 的詮釋之下,維根斯坦不是柏拉圖主義者,因為 1000+2=1002 不是獨立於任何情況都成立、客觀絕對的,而是由我們的生命形式決定的數學真理。維根斯坦不是約定論者,因為我們沒有辦法選擇另一個約定,使 1000+2=1002 變成假,因為我們的生命形式不是由我們決定、不是我們想改變就改變──在我們的生命形式, 1000+2 必然是 1002 。我們可以理解可能有另一種生命形式,但無法理解那是個怎樣的生命形式;我們可以理解可能有不一樣的算術和邏輯,但無法理解那是怎樣的算術和邏輯。是以維根斯坦有此名句:「如果獅子能說話,我們也無法理解」(If a lion could talk, we wouldn’t be able to understand it.) (PI, Fragment, 327) ,因為即使獅子能夠說話,牠的生命形式也與人類的截然不同,牠用的也只會是另一種語言。

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